Задания, связанные с выделением полного квадрата

Часто в заданиях при известной сумме (или разности) двух величин требуется найти сумму их квадратов (кубов, и т.д.), либо же наоборот: известна сумма квадратов, а необходимо найти сумму (разность) этих величин. Это задания на выделение полного квадрата.

Рассмотрим на примере 1: найдите сумму квадратов корней уравнения 

 По теореме Виета 

 Сумма квадратов – это выражение x₁²+x₂² для его вычисления прибавим к этой сумме квадратов их удвоенное произведение и сразу же вычтем его. Тем самым мы не изменим конечный результат, но проделанные действия позволят нам свернуть в формулу квадрата суммы первых три слагаемых, а четвертое слагаемое нам известно по теореме Виета:

 Пример 2

 Проделываем аналогичные действия: 

Теорема Виета

 Уравнение вида ax²+bx+c=0 , где a≠0 и x – неизвестная величина называется квадратным уравнением. Если a=1, то уравнение называется приведенным квадратным уравнением.

Теорема Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна его второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение – свободному члену.

Теорема, обратная теореме Виета. Если числа x₁ и x₂ таковы, что x₁₊x₂=-p а x_1・x₂=q, то они являются корнями квадратного уравнения x²+px+q=0.

Примеры задач по теме из РТ:
А8 (РТ-19, 1 этап)
А15 (РТ-19, 2 этап)
А15 (РТ-19, 3 этап)
А10 (РТ-20, 1 этап)
А14 (РТ-20, 2 этап)

Пришло время задействовать все резервы или Мое традиционное послание выпускникам

Всем хорошего дня и у меня для вас неожиданная новость! Больше ничего изучать не будем!

Нового!

Оставшееся время потратим на систематизацию, повторение и обобщение того, что мы наработали за все время. Кто-то накапливал знания в течение долгих 11 лет, кто-то попытался постигнуть программу всей школьной математики за последний год - при индивидуальной работе с учениками я подстраиваюсь под каждого лично, но с сегодняшнего дня план один для всех: отшлифовываем наши знания!

А это значит, что первостепенной задачей для вас теперь является полнейший разбор трех этапов репетиционного тестирования. Практически все задания разобраны здесь. Вы должны не просто просмотреть какого типа задания были, а досконально изучить решение каждого, чтобы у вас не осталось ни вопросов по этим решениям, ни пробелов в теме, по которой это задание.

Далее особое внимание советую обратить на темы, которые переходили из одного этапа в другой:

1. Свойства степеней (1 этап, опять 1 этап, 2 этап и 3 этап)

2. Градусная и радианная мера угла (1 этап, 2 этап, 3 этап)

3. Свойства касательной к окружности (1 этап, 2 этап, 3 этап)

4. Теорема Виета (1 этап, 2 этап, 3 этап)

5. Извлечение корня из суммы или разности (1 этап, 2 этап, 3 этап)

6. Соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике (1 этап, 2 этап, 3 этап)

7. Простейшие тригонометрические уравнения (1 этап, 2 этап, 3 этап)

8. Иррациональные уравнения (1 этап, 2 этап, 3 этап)

9. Метод интервалов для решения рациональных неравенств (1 этап, 2 этап, 3 этап)

Мои ученики по каждой из этих тем получат огромное количество заданий для отработки и систематизации. Тем, кто готовится самостоятельно также советую решать много задач на эти темы.

Помимо указанных тем еще решаем в большом количестве:

Преобразования алгебраических выражений и разложение на множители многочленов;

Показательные уравнения;

Логарифмические неравенства;

Геометрические задачи из экзаменационного сборника за 11 класс;

Задачи, связанные с определением и свойствами логарифма;

Упражняемся в переводе единиц измерения

Финальным шагом в подготовке к ЦТ станет, как обычно, составленный мною тест, который я опубликую накануне тестирования.

Всем удачи и сил на оставшиеся полтора месяца, а мы приступаем к такой плотной работе, что даже моя кошка скоро будет готова к сдаче тестирования!

B11. Текстовая задача на проценты

Задание. В питомнике растут только ели и сосны. Ели составляют 45% всех деревьев в питомнике. Для реализации вырубили и вывезли некоторое количество елей. Теперь ели составляют 12% всех оставшихся деревьев. Определите, сколько процентов p составляют увезенные ели от елей, которые росли в питомнике первоначально. В ответ запишите значение выражения 6p.

Решение.

Пусть в питомнике росло x деревьев, тогда елей было 0,45x. Пусть для реализации вывезли y сосен. Составим таблицу:

 Зная, что теперь ели составляют 12% от всех деревьев, составим уравнение:

0,12(x-y)=0,45x-y.

При решении учтем, что нужно найти сколько процентов составляют увезенные ели от елей, которые росли в питомнике, то есть p=(y/(0,45x))∙100%. То есть при решении уравнения нужно выразить величину y/x.

0,12x-0,12y=0,45x-y  |:x

0,12-0,12y/x=0,45-y/x

y/x-0,12y/x=0,45-0,12

0,88y/x=0,33

y/x=3/8

Ответ. 500

B10. Иррациональное уравнение

Задание. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения

 В ответ запишите полученный результат увеличенный в 7 раз.

Анализ. Отработанные до блеска примеры на иррациональные уравнения с моими учениками на занятиях, исписанные стопки листков, заученная до автоматизма теория - и все равно только один мой ученик справился с заданием - и то, как выяснилось потом, угадал.

Теория. Идем строго по схеме
Решение.

Простейшее уравнение? – нет.

Замену вводим? – нет.

Значит находим ОДЗ:

Так как разложить на множители не получится, нужно возводить обе НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ части в квадрат, но если про правую часть мы можем утверждать, что она неотрицательна (так как справа стоит корень, значение которого всегда неотрицательно), то про левую часть, представляющую из себя разность двух корней, мы такого сказать не можем. А вот если перенесем из левой части вправо корень с «минусом», то при переносе его знак изменится на «плюс» и сумма двух корней уже будет неотрицательным числом, что позволит нам возвести обе части в квадрат:

Далее мы приходим к простейшему иррациональному уравнению третьего типа, для решения которого от иррационального уравнения переходят к системе:

При решении квадратного уравнения выйдем на очень большие значения корня, однако если заметить, что 3x-16=3x-15-1=3(x-5)-1, можно догадаться ввести замену: x-5=t, откуда x=t+5, что значительно облегчит дальнейшие вычисления:

Производим обратную замену: x=t+5=3+5=8

Увеличенный в 7 раз результат: 7∙8=56

Ответ. 56

B9. Тела вращения

Задание. Длины двух сторон треугольника равны 4 и 6, а угол между ними равен α, cos α =-3/4. Найдите объем тела, полученного в результате вращения треугольника вокруг стороны, равной 6. Считайте число π равным числу Архимеда 22/7.

Анализ. Сразу обращаем внимание на то, что треугольник тупоугольный, так как косинус его угла отрицательный

Теория. Объем конуса находим по формуле V=1/3∙πR²∙H, где R – радиус основания, H – высота конуса.

Решение.

Пусть AB=6, AC=4, cos A = -3/4.

При вращении тела вокруг стороны AB эта сторона остается фиксированной (является осью), а все остальные точки описывают окружности радиуса равного расстоянию между этой точкой и стороной AB.

Для нахождения объема полученного тела вращения можно найти объем конуса с осью BO (см рисунок) и образующей BC и из этого объема вычесть объем конуса с осью AO и образующей AC.

Углы OAC и CAB – смежные, их сумма равна 180°, а значит, по формулам приведения, cos ے OAC=-cos ے CAB. cos ے OAC=3/4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OAC. По условию AC (гипотенуза)=4. По найденному cos ے OAC=3/4. Из соотношений в прямоугольном треугольнике cos ے OAC=OA/AC, значит OA=3, по теореме Пифагора OC=√7.

OB=BA+AO=6+3=9.

Для конуса с осью BO=9: V=1/3∙22/7∙(√7)²∙9=66.

Для конуса с осью AO=3: V=1/3∙22/7∙(√7)²∙3=22.

Объем полученного тела вращения V=66-22=44.

Ответ. 44

B8. Показательное уравнение

Задание. Найдите произведение корней (корень, если он единственный) уравнения

Теория. Свойства степеней
Способы решения показательных уравнений
Решение.

По теореме Виета произведение корней -9.

Ответ. -9

B7. Логарифмическое неравенство

Задание. Найдите сумму всех целых чисел из области определения функции:

Анализ. Если функция задана корнем, то для нахождения ее области определения нужно выставить условие: подкоренное выражение неотрицательно. Таким образом получаем логарифмическое неравенство и решаем его.

Теория. Основные способы решения логарифмических неравенств
Решение.

Пересекая оба решения получаем x ϵ (1; 19 2/3).

Сумма всех целых решений:

2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19=(2+19)∙9=21∙9=189

Ответ. 189

B6. Неравенство с модулем

Задание. Найдите произведение наибольшего отрицательного и наименьшего положительного целых решений неравенства

  x²-6x-4|x-3|-12≥0.

Анализ. Воспользуемся самым простым способом - методом интервалов с использованием определения модуля

Теория. Так как после раскрытия модуля неравенство станет рациональным, вспомним теорию по рациональным неравенствам

Решение.

Находим нули подмодульных выражений (в нашем случае только один модуль, значит и подмодульное выражение только одно: x-3. Находимо его нули:

x-3=0

x=3.

Числовая прямая разбивается этим нулем на два промежутка, на каждом из них раскроем модуль по определению: если подмодульное выражение неотрицательно, то модуль раскрывается с тем же знаком, а если отрицательно – с противоположным.

Общее решение xϵ(-∞; -4] Ս [10; +∞).

Наибольшее целое отрицательное решение -4; наименьшее целое положительное решение 10. Их произведение -4∙10=-40.

Ответ. -40

B5. Площадь треугольника

Задание. Прямая проходящая через вершину A треугольника ABC, делит его медиану BM в отношении 1:3, считая от вершины B и пересекает сторону BC в точке K. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника ABK равна 17.

Анализ. Важная задача, при решении советую обратить внимание на разбор похожей задачи из второго этапа

Теория. Площадь треугольника находим по формуле S=1/2absinα, где α – угол, между этими сторонами. 

Теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Решение. Для решения задачи важен хороший чертеж.

S_ABC=1/2∙AB∙BC∙sin B

S_ABK=1/2∙AB∙BK∙sin B→1/2∙AB∙sin B= S_ABK/BK

S_ABC=(BC∙S_ABK)/BK

То есть, учитывая то, что S_ABK нам известна, для решения задачи необходимо найти отношение BC/BK.

Проведем через точку M прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает сторону BC в точке L.

По теореме Фалеса: AM:MC=KL:CL, а так как AM=MC (по условию BM – медиана), то KL=CL. Далее аналогично BK:KL=1:3, откуда если принять BK=y, то KL=3y, CL=KL=3y, значит, CB=CL+LK+BK=7y, то есть CB/BK=7/1, подставляем в формулу:

S_ABC=(BC∙S_ABK)/BK= S_ABK∙(BC/BK)=17∙7=119.

Ответ. 119