Задания, связанные с выделением полного квадрата

Часто в заданиях при известной сумме (или разности) двух величин требуется найти сумму их квадратов (кубов, и т.д.), либо же наоборот: известна сумма квадратов, а необходимо найти сумму (разность) этих величин. Это задания на выделение полного квадрата.

Рассмотрим на примере 1: найдите сумму квадратов корней уравнения 

 По теореме Виета 

 Сумма квадратов – это выражение x₁²+x₂² для его вычисления прибавим к этой сумме квадратов их удвоенное произведение и сразу же вычтем его. Тем самым мы не изменим конечный результат, но проделанные действия позволят нам свернуть в формулу квадрата суммы первых три слагаемых, а четвертое слагаемое нам известно по теореме Виета:

 Пример 2

 Проделываем аналогичные действия: 

Теорема Виета

 Уравнение вида ax²+bx+c=0 , где a≠0 и x – неизвестная величина называется квадратным уравнением. Если a=1, то уравнение называется приведенным квадратным уравнением.

Теорема Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна его второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение – свободному члену.

Теорема, обратная теореме Виета. Если числа x₁ и x₂ таковы, что x₁₊x₂=-p а x_1・x₂=q, то они являются корнями квадратного уравнения x²+px+q=0.

Примеры задач по теме из РТ:
А8 (РТ-19, 1 этап)
А15 (РТ-19, 2 этап)
А15 (РТ-19, 3 этап)
А10 (РТ-20, 1 этап)
А14 (РТ-20, 2 этап)