Докажем, что сумма
расстояний от произвольной точки основания равнобедренного треугольника до его
боковых сторон – величина постоянная и равная высоте этого треугольника,
проведенной к его боковое стороне.
Пусть ABC – равнобедренный треугольник
с основанием AC. Точка X принадлежит основанию. XM – расстояние от точки X до стороны AB, XN – расстояние от точки X до стороны BC, AN – высота треугольника,
опущенная на сторону BC. Доказать, что MX+XN=AH.
Доказательство.
XM┴AB,
XN┴BC по
определению расстояния. Тогда проведем отрезок BX
и площадь треугольника ABC равна сумме площадей
треугольников ABX и CBX.
Воспользовавшись основной формулой для нахождения площади треугольника как
полупроизведение стороны на высоту, проведенную к ней, получаем:
Приравнивая площадь треугольника ABC
к
сумме площадей
треугольников ABX и CBX,
получаем:
Что и требовалось доказать.
Теперь, зная этот факт, вы легко решите следующие задачи:
1.
Боковая сторона равнобедренного
треугольника равна 5, а основание равно 8. На основании отмечена точка X,
расстояние от нее до одной из боковых сторон треугольника равно 3. Найдите
расстояние от точки X до другой стороны треугольника.
2.
Боковая сторона равнобедренного
треугольника равна 5, а основание равно 8. Найдите расстояние от середины
основания до боковой стороны.
