В10, объем пирамиды

Задание

Анализ. При решении задачи очень важно определить, где будет находиться основание высоты пирамиды. Так как ребра SA и SB равны, то ΔSAB - равнобедренный и SM⏊AB, где M - середина стороны AB. Аналогично CM⏊AB, так как ΔCAB также равнобедренный. Значит, высота пирамиды SO будет падать на CM по ттп., то есть O∊СM.

Теория. Объем пирамиды 

Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к ней.

 Площадь треугольника со сторонами a, b и c и полупериметром p, по формуле Герона

Решение. SM находим как высоту из треугольника SAB. Сначала находим его площадь по формуле Герона (стороны треугольника 15; 15; 24, значит, полупериметр (15+15+24):2=27):

Теперь подставляем найденное значение в формулу площади треугольника и выражаем оттуда высоту SM:

Аналогично высота CM в треугольнике ABC так же равна 9 (он равен треугольнику SAB по трем сторонам, значит и высоты, проведенные к равным сторонам, равны).

Теперь совершенно аналогично находим высоту в треугольнике SMC, она же будет высотой пирамиды.

SM = 9; CM = 9; SC = 12; p = (9+9+12):2=15
По формуле Герона ищем площадь:

 Выражаем высоту

Все необходимые величины найдены, можем найти объем пирамиды:

 В ответ записываем необходимое значение:

Ответ. 48

Пора повторять тригонометрию!

На носу май, а это значит, что пора браться за тригонометрию. Я, традиционно, не изучаю со своими учениками ничего нового в последний месяц перед тестом, а изучение курса подготовки к Цт завершаю тригонометрией. У нас уже прошло занятие, на котором мы выводили все формулы и теперь мы усиленно оттачиваем наши навыки в преобразовании тригонометрических выражений и решении тригонометрических уравнений.

С учетом того, что составители предлагают и в РТ, и в демо-РТ задания по тригонометрии примерно одного плана, советую вам обратить внимание на обратные тригонометрические функции и на решение простейших тригонометрических уравнений.

Примеры разобранных заданий
А5, 2 этап РТ
А17, 2 этап РТ
А5, 3 этап РТ
А17, 3 этап РТ

А5, обратные тригонометрические функции

Задание

Решение

Ответ. 4

А6, последовательности

Задание

Анализ. Так как 1 - первый член прогрессии (под номером 1), 6 - второй член прогрессии (под номером 2), 11 - третий член прогрессии (под номером 3), то при подстановке вместо n (номера) в формулы чисел 1, 2 и 3, должно вместо a(n) получаться соответственно 1; 6 и 11. 

Решение. Проверяем каждую формулу.

Для первой:

 Далее смысла проверять нет, так как если хотя бы один из членов не находится по этой формуле, то формула не является формулой n-го члена прогрессии.

Для второй:

 Для третьей:

 Для четвертой:

 Видим, что каждый из членов прогрессии можно найти по этой формуле.

Однако убедимся, что пятая - не является формулой n-го члена для данной прогрессии:

Ответ. 4

В8, правильный шестиугольник

Задание

Анализ. Для решения задачи необходимо определить тип треугольника A1A3A6. Он будет прямоугольный с углом в 30०. (В решении я докажу этот факт). Далее из формулы площади прямоугольного треугольника найти ту его сторону, которая совпадает со стороной шестиугольника, откуда найдем периметр шестиугольника. Отметим тот факт, что гипотенуза прямоугольного треугольника (является диагональю A3A6) также является диаметром описанной вокруг шестиугольника окружности, а радиус этой окружности равен стороне шестиугольника.

Теория. Площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b находим по формуле 

Для нахождения угла правильного n-угольника используют формулу:

Катет, лежащий против угла в 30० равен половине гипотенузы. Если катет обозначить за a, то гипотенуза будет 2a, а второй катет находим по теореме Пифагора: a√3.

Решение. Каждый угол правильного шестиугольника равен

ΔA1A2A3 - равнобедренный с углом при вершине 120०, значит два других его угла по 30०.

Получаем, ΔA1A3A6 - прямоугольный. 

Так как, если мы рассмотрим ΔA1A3A6 и ΔA5A3A6, они будут равны по гипотенузе и катету, а значит ㄥA1A6A3=ㄥA5A6A3, значит A6A3 является биссектрисой угла A5A6A1 и делит его пополам.

Далее в ΔA1A3A6 находим оставшийся угол A1A3A6. 

Катет, лежащий против угла в 30०, обозначаем за a, тогда гипотенуза 2a, а второй катет a√3. По формуле площади:

То есть, катет, лежащий против угла в 30० равен 6, а он совпадает со стороной шестиугольника, значит и сторона шестиугольника равна 6. Периметр - это сумма длин всех сторон, а так как всего 6 сторон и все они равны, то периметр равен

P=6・6 = 36

Ответ. 36

А7, свойства логарифмов

Задание

Теория Здесь
Решение

Ответ. 1

Свойства логарифмов

Логарифмом числа a по основанию b называется такое число c, что b в степени c равно a.

Примеры решенных заданий
А7 (РТ-18, 3 этап)
А13 (РТ-19, 2 этап).

А8, одночлены

Задание

Теория Обязательно к изучению
Решение

Первое выражение не является одночленом, так как представляет из себя сумму одночленов (то есть это многочлен, точнее: двучлен)

Второе выражение после применения свойств степеней будет содержать отрицательную степень, поэтому не является одночленом

 Третье выражение после применения свойств степеней полностью подходит под определение одночлена

 Четвертое выражение содержит отрицательную степень, поэтому одночленом не является.

Пятое выражение содержит как минимум дробную (не натуральную) степень. А еще и модуль - тоже не является одночленом.

Ответ. 3

А9, прямая пропорциональность.

Задание

Анализ. Изменение времени для каждой из функций Δt=2,5 часа (от 0 до 2,5). Однако изменение расстояния у каждой функции разное. Простой подстановкой можно найти верную функцию.

Теория. Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в функцию, получаем верное числовое равенство.

Решение.
I способ
Первая (снизу) функция проходит через точку (2,5; 60). Подставляем ее координаты:
60=42・2,5
60=105 (не верно)
Вторая функция проходит через точку (2,5; 75). Подставляем ее координаты:
75=42・2,5
75=105 (не верно)
Третья функция проходит через точку (2,5; 90). Подставляем ее координаты:
90=42・2,5
90=105 (не верно)
Четвертая функция проходит через точку (2,5; 105). Подставляем ее координаты:
105=42・2,5
105=105 (верно)
Значит, четвертая (снизу) функция - искомая. Расстояние у этой функции изменяется на ΔS=105 км (с 0 до 105)
Ответ. 2
II способ

Очевидно, что подстановка - слишком длинное решение для данного задания, так как правая часть равенства остается неизменной: 42・2,5, что равно 105. Это обусловлено тем, что абсцисса точки всегда остается 2,5. Поэтому быстрее было бы решить следующим образом:

S(t)=42t

S(t)=42・2,5

S(t)=105

Ответ. 2

А15, уравнения

Задание

Решение.

1. Не верно, так как это числовое равенство (в уравнении есть переменная x)

2. Не верно. При подстановке вместо x числа 3 получим верное числовое равенство (24:6=4), значит число 3 является корнем уравнения.

3. Не верно. При подстановке вместо x числа -2 получим неверное числовое равенство 

(-4・3=0), значит -2 не является корнем уравнения.

4. Не верно. 

5. Верно. Оба уравнения не имеют решений (значение косинуса по модулю не превосходит 1, а у нас случай cos x = 1,57, так как ㄫ≈3,14 и значение модуля - число неотрицательное, а у нас |x|=-1). Так как множества решений данных уравнений совпадают, они являются равносильными).

Ответ. 5

А16, объем конуса

Задание

 Анализ Для решения задачи необходимо знать формулу объема конуса, а так же понимать, как выглядит осевое сечение конуса. Заметим, что осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник, а так как один из его углов по условию равен 60°, то он будет являться равносторонним. Высота осевого сечения (равностороннего треугольника) будет являться и высотой конуса.

Теория. Объем конуса
, где R - радиус основания, H - высота
 Высота равностороннего треугольника со стороной a:

Решение. Так как ΔSAB - равносторонний со стороной 2√3 (по условию), то OB = 1/2•AB=√3 (радиус основания). Высота конуса равна высоте ΔSAB:

Находи объем конуса:

Ответ. 2

А12, теорема косинусов и неравенство треугольника

Задание 

Анализ. Слова в задании "Найдите наибольшее возможное значение длины третьей стороны треугольника" наталкивают на мысль, что задача имеет не единственное решение. Так как речь идет о нахождении стороны треугольника, не будем забывать, что не из любой тройки чисел можно составить треугольник со сторонами, равными этим числам. Не лишним будет проверить выполнение неравенства треугольника.

Теория. Теорема косинусов

Неравенство треугольника: любая сторона треугольника меньше суммы длин двух других его сторон (на деле проверяют выполнение неравенства треугольника для большей стороны. Если для большей оно выполняется, то и для остальных сторон также будет верным).

Решение. Пусть сторона AC равна 7, сторона BC равна 4, а синус угла C равен √15/8. Из основного тригонометрического тождества найдем 

 Так как нам не сказано, остроугольный или тупоугольный треугольник, то косинус его угла может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Найдем сторону AB для каждого из значений cos С. Для положительного значения:

 Для отрицательного значения.

 Так как √114>4, проверим неравенство треугольника для значения AB=√114

Неравенство треугольника выполняется, значит наибольшее возможное значение длины третьей стороны √114.
Ответ. 4