Нахождение производных сложных функций (пример)

Итак, как же пользоваться таблицей производных сложных функций?
Если вместо функции u мы имеем x, то умножать на x' не нужно, так как x'=1.Функция в данном случае будет простейшая.  Например:

См. на формулу (5) в таблице.

Теперь возьмем производную сложной функции.  

Пользуемся той же самой формулой (5), однако здесь вместо u стоит уже другая, новая функция: arcsin x. Так как это функция, умножать на (arcsin x)' нужно. Для  нахождения этой производной смотрим на формулу (11) и на u' не умножаем, так как u=x, то есть функция простейшая.

Если логарифмическая или тригонометрическая функция находится в какой-либо степени, имеет место такая запись: 

Однако мы будем понимать, что здесь в третьей степени записана вся функция. И для нахождения ее производной пользуемся формулой (1)

домножаем на u', так как u=sin( e^(x)). и далее до тех пор, пока не получим простейшую функция (u=x).

Теперь решим более сложный пример. Найдем производную функции

Для нахождения производной данной функции, помимо таблицы производных нам понадобятся правила вычисления производных: 

Так как мы находим производную суммы двух функций, записываем по правилу пункт 1:

Теперь первое слагаемое - степенная функция пятой степени. Идем слева направо, ищем штрихи и я комментирую нахождение каждого из них (каждой производной). Смотрим в таблице производных (1), а второе слагаемое - дробь. Смотрим в правила пункт 4:

Первая производная представляет сумму двух функций, смотрим правила пункт (1), вторая - снова сумма двух функций, правила пункт (1), третья - корень от некоторой функции, таблица (8):

Первая производна - степень числа e. Таблица (3), вторая - производная натурального логарифма, таблица (5). Третья - производная произведения числа на функцию - правила, пункт (5). Четвертая - производная числа (нет x). Производная числа равна 0! Пятая - производная суммы нескольких функций, правила, пункт (1). Я взяла пятую производную сразу, далее запишу только результат.

Первая производная - смотрим в таблице производную синусов (6), причем функция станет уже простейшей, вторая - производная косинусов. В таблице (7), функция простейшая.

Взяв эти производные, штрихов у нас не осталось, а значит, нахождение производной окончено. 

Таблица производных сложных функций

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

У студентов приближается самая жаркая пора - сессия, а так как ни один студент-заочник экономической специальности не сможет сдать зачет или экзамен по высшей математике, не освоив решение систем линейных уравнений методом Гаусса, разберу сразу на примере.

Составим расширенную матрицу системы, выписав коэффициенты переменных в квадратную матрицу 3х3, а через вертикальную черту запишем столбец ответов:

Далее приведем эту матрицу к треугольному виду методом прямоугольника (будем добиваться того, чтобы ниже главной диагонали стояли 0. Берем первый элемент -3, этот элемент будет разрешающим, а стока, в которой он стоит - разрешающей строкой. Ниже разрешающего элемента записываем нули, разрешающую строку оставляем без изменения, а все остальные элементы высчитываем по правилу прямоугольника: умножаем разрешающий элемент на преобразовываемый элемент, таким образом получаем одну диагональ и из произведения вычитаем произведение элементов, которые стоят на другой диагонали. Получим матрицу

Ниже я объясню, каким образом получили эту матрицу:

Чтобы узнать, какой элемент будет стоять на месте -4, составляем разность: умножаем разрешающий элемент (-3) на преобразовываемый (-4) и из произведения вычитаем произведение чисел, одно из которых стоит под разрешающим элементом в преобразовываемой строке (-7), а второе - над преобразовываемым числом в разрешающей строке (5). Итак, (-3・(-4))-(-7・5)=12-(-35)=12+35=47

Чтобы узнать, какой элемент будет стоять на месте 4, составляем разность: умножаем разрешающий элемент (-3) на преобразовываемый (4) и из произведения вычитаем произведение чисел, одно из которых стоит под разрешающим элементом в преобразовываемой строке (-7), а второе - над преобразовываемым числом в разрешающей строке (-4). Итак, (-3・4)-(-7・(-4))=-12-28=-40

Далее поступаем аналогично: (-3・(-3))-(-7・(-7))=9-49=-40

(-3・(-4))-(-7・5)=47

 (-3・3)-(-7・(-4))=-37

(-3・(-4))-(-7・(-7))=-37

 Теперь разрешающим элементом станет 47, вторая строка - разрешающей. Под этим элементом записываем 0, а остальные находим по правилу прямоугольника и получаем треугольную матрицу:

Ниже объясняю:

(47・(-37))-(47・(-40))=141

(47・(-37))-(47・(-40))=141

Теперь из матрицы записываем систему (коэффициенты переменных записываем перед соответствующими переменными. 

Таким образом мы добились того, что из третьего уравнения системы однозначно находится переменная x3:

Подставляем значение найденной переменной во второе уравнение, находим переменную x2:

Подставляем найденные значения переменных в первое уравнение и находим значение переменной x1.

ОТВЕТ: (1; 0; 1).