A19. Неравенство с модулем

 Задание. Найдите сумму всех целых решений неравенства |x²-3x-13|>x²-3x-13

Варианты ответов:

1)    -9;

2)    9;

3)    0;

4)    -12;

5)    12.

Анализ

Обратим внимание, что выражение под модулем и выражение в правой части – равные многочлены, поэтому проанализируем, при каких a верно неравенство |a|>a. Понятно, что нам нужно рассмотреть случаи, когда a – отрицательное, положительное и равное нулю. Подставляем любые значения a и смотрим, верно ли неравенство:

При a=-1: |-1|>-1 – верно;

При a=0: |0|>0 – неверно.

При a=1: |1|>1 – неверно.

Решение

То есть, неравенство верно, когда под модулем стоит отрицательное выражение, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству
x²-3x-13<0 – квадратное неравенство.

Рассмотрим функцию y= x²-3x-13. График – парабола, ветви направлены вверх, нули: D=9+4∙13=61. Корни находим приблизительно: x₁=(3-7,8)/2=-2,2; x₂=(3+7,8)/2=5,4. Строим схематично график:

Решение неравенства xϵ(-2,2; 5,4). Целые значения переменной -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5. Сумма 3+4+5=12.

Ответ. 5

A13. Неравенства

Задание. Укажите номера верных утверждений:

1)    Решением неравенства (x-2)²>0 является любое число;

2)    Неравенства (x+2)²>0 и 

   равносильны;

3)    Неравенства x²+5≤0 |x|≤√5 равносильные;

4)    Неравенство (x-5)²<0 не имеет решений;

5)    Решением неравенства x²-4>0 являются числа 2 и -2.

Варианты ответов.

1)    1, 3;

2)    1, 5;

3)    3, 4;

4)    2, 4;

5)    2, 5.

Теория. Решением неравенства называется множество ВСЕХ чисел, при подстановки которых в условие вместо переменной, получаем верное числовое равенство. Равносильные неравенства – это неравенства, множества решений которых совпадают.

Практически все эти неравенства можно решить методом интервалов, однако я предложу более простой способ.

Решение

1)    Не верно, так как при x=2 данное неравенство не является верным числовым неравенством.

2)    Верно, так как решением первого неравенства будет любое число кроме -2. (квадрат некоторого числа– число неотрицательное, оно больше нуля всегда, когда под квадратом число, отличное от нуля, а x=-2 обратит выражение, стоящее под квадратом, в 0. Второе неравенство так же имеет решением все числа, кроме -2 (не входит в область определения), то есть квадрат выражения в данном случае строго положительный и 1 разделить на положительное число – положительное число всегда, значит подходит любое число.

3)    Не верно. Первое неравенство не имеет решений, квадрат числа плюс положительное число в результате дадут положительное число, которое ни при каких условиях не может быть меньше отрицательного. Второе неравенство имеет решения, например, 0 или 1.

4)    Верно. Квадрат – число неотрицательное, не может быть меньше отрицательного.

5)    Не верно, так как при подстановке этих чисел вместо переменной, получим неверное числовое равенство.

Ответ. 4

B6. Неравенство с модулем

Задание. Найдите произведение наибольшего отрицательного и наименьшего положительного целых решений неравенства

  x²-6x-4|x-3|-12≥0.

Анализ. Воспользуемся самым простым способом - методом интервалов с использованием определения модуля

Теория. Так как после раскрытия модуля неравенство станет рациональным, вспомним теорию по рациональным неравенствам

Решение.

Находим нули подмодульных выражений (в нашем случае только один модуль, значит и подмодульное выражение только одно: x-3. Находимо его нули:

x-3=0

x=3.

Числовая прямая разбивается этим нулем на два промежутка, на каждом из них раскроем модуль по определению: если подмодульное выражение неотрицательно, то модуль раскрывается с тем же знаком, а если отрицательно – с противоположным.

Общее решение xϵ(-∞; -4] Ս [10; +∞).

Наибольшее целое отрицательное решение -4; наименьшее целое положительное решение 10. Их произведение -4∙10=-40.

Ответ. -40