Логарифмические неравенства и способы их решения

Разберем основные способы решения логарифмических неравенств

Смысл решения логарифмических неравенств состоит в том, чтобы перейти путем равносильных переходов к рациональному неравенству или их системе

      1.   Слева и справа – логарифмы с одинаковым основанием.

Тогда в зависимости от основания логарифма мы опускаем логарифмы и если основание больше 1 – оставляем знак неравенства, если основание меньше 1 но больше 0 – меняем знак неравенства. Вторым неравенством записываем условие существования меньшего из выражений, стоящих под логарифмом (уже после того, как логарифмы опустим, смотрим на какое из выражений указывает «носик» неравенства, то выражение и должно быть больше 0)

2.     С одной стороны – логарифм, а с другой число.

Не советую заучивать какие-либо схемы, советую – рассуждать. Из числа делаем логарифм по тому же основанию, что и исходный логарифм в неравенстве и дальше поступаем как в пункте 1, однако выставлять ли условие существования логарифма зависит от того, какое из выражений в неравенстве окажется наименьшим. Если наименьшее – число, то ставить условие его существования уже не нужно. (то есть, если вы «снимаете» логарифмы, не забудьте посмотреть на основание логарифма, нужно ли разворачивать знак неравенства и после этого оказывается, что «носик» неравенства смотрит на число, то записывать, что это число больше нуля – уже не нужно).

3.     С применением свойств логарифма.

Если применяем какое-либо свойство логарифма, то обязательно выставляем условие существования этого (этих) логарифма. Далее действуем как в пунктах 1 или 2, но при переходе от логарифмического уравнения к системе рациональных условие существования меньшего логарифма уже выставлять не нужно, так как он и так существует, ведь мы уже ранее выставили это условие

 4.     Метод интервалов.

Если из условия понятно, что при переносе в левую часть всех элементов неравенства, она легко разложится на множители (либо уже разложена на множители или представляет собой дробь), целесообразно применить метод интервалов

 5.     Замена

С заменой в неравенствах советую быть особо аккуратными и вводить ее только для того, чтобы разложить на множители, а дальше выполнить обратную замену и решать методом интервалов (как в пункте 4)

 6.     Графический

Иногда бывает, что все попытки решить неравенство аналитическими способами не дают должного результата, однако функции, представленные в неравенстве не являются тяжелыми для построения. Тогда есть смысл попробовать их изобразить и по рисунку понять, какая из функций на каком промежутке больше. (не забудем про ОДЗ). Теория по движению графиков

Должны получится следующие графики:

Асимптота x=1/3

Так как одна функция является возрастающей, а другая – убывающей, то никаких других точек пересечения у них нет. Логарифмическая функция ниже (меньше, о чем спрашивали в неравенстве) чем линейная при
 x є (-1; 1/3) – не забудьте ОДЗ!

Точка пересечения – (-1; 2) – проверьте путем подстановки в обе функции. Они обе через нее проходят.

Ознакомьтесь с решениями тестовых заданий, предложенных на репетиционном тестировании:

B6, РТ-2018 (2 этап)

B7, РТ-2018 (3 этап)

В7, РТ-2019 (3 этап)