B9. Иррациональное уравнение

Задание. Найдите сумму всех целых корней уравнения

Теория По иррациональным уравнениям однако настоятельно рекомендую разобрать вот эти Примеры

Анализ. При решении необходимо заметить, что выражения под знаком корня являются полными квадратами, далее, применяя формулы и извлекая корень из полного квадрата придем к иррациональному уравнению с модулем:

Решение

Объединяя решение получаем, что решением уравнения |t-1|+|t-2|=1 является промежуток [1; 2] или 1≤t≤2. Выполним обратную замену: 

Сумма целых значений, удовлетворяющих этому условию равна 4+5+6+7=22.

Ответ. 22

Задания, связанные с выделением полного квадрата

Часто в заданиях при известной сумме (или разности) двух величин требуется найти сумму их квадратов (кубов, и т.д.), либо же наоборот: известна сумма квадратов, а необходимо найти сумму (разность) этих величин. Это задания на выделение полного квадрата.

Рассмотрим на примере 1: найдите сумму квадратов корней уравнения 

 По теореме Виета 

 Сумма квадратов – это выражение x₁²+x₂² для его вычисления прибавим к этой сумме квадратов их удвоенное произведение и сразу же вычтем его. Тем самым мы не изменим конечный результат, но проделанные действия позволят нам свернуть в формулу квадрата суммы первых три слагаемых, а четвертое слагаемое нам известно по теореме Виета:

 Пример 2

 Проделываем аналогичные действия: