B7. Площади фигур

Задание. Площадь параллелограмма ABCD равна 80. Точки M и N лежат на сторонах AD и CD параллелограмма так, что AM:MD=1:3, CN:ND=3:2. Найдите площадь треугольника BMN. 

Анализ. Параллелограмм – квадрируемая фигура, то есть при разбиении параллелограмма на несколько фигур, сумма площадей всех получившихся фигур равна площади параллелограмма. Таким образом, можно найти площади треугольников ABM, BCN, MND и затем вычесть их сумму из площади параллелограмма, получив таким образом площадь треугольника BMN. 

Теория. Площадь параллелограмма находим по формуле S=absinα, где α – угол, между смежными сторонами, площадь треугольника находим по формуле S=1/2absinα, где α – угол, между этими сторонами. Учитывая, что в параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит сумма углов, прилежащих к одной и той же стороне равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей). Если сумма двух углов равна 180°, то их синусы равны (по формуле приведения). Пусть α+β=180°, тогда sin α = sin (180°-β) = sin β.

Решение. Учитывая, что AM:MD=1:3, CN:ND=3:2. Пусть AM = x, тогда MD = 3x, CN=3y, ND=2y, BC=AD=AM+MD=4x, AB=CD=3y+2y=5y.

S(ABCD)=AB∙AD∙sinα=4x∙5y∙sinα=20xysinα=80, откуда xysinα=4

S(ABM)=1/2AB∙AM∙sinα=1/2∙x∙5y∙sinα=5/2 xysinα=10

S(NDM)=1/2DN∙MD∙sinα=1/2∙3x∙2y∙sinα=3 xysinα=12

S(BCN)=1/2BC∙CN∙sinα=1/2∙4x∙3y∙sinα=6 xysinα=24

S(BMN)= S(ABCD)-( S(ABM)+ S(NDM)+ S(BCN))=80-(10+12+24)=80-46=34

Ответ. 34