B8. Дробно-рациональное неравенство

Задание. Найдите произведение наименьшего целого решения на количество всех целых решений неравенства

Теория Здесь

Анализ

Стандартное дробно-рациональное неравенство, сложности при решении могут возникнуть разве что при разложении на линейные множители выражения x⁴-14x²-32, однако заметив, что x⁴=(x²)², оно легко раскладывается по формуле квадратного трехчлена: (x²)²-14x²-32=(x²-16)(x²+2) Далее первую скобку можно разложить как разность квадратов, а вторую разложить на линейные множители нельзя, но учтем, что при любом значении переменной, выражение x²+2 положительно, поэтому при проверке знака, вместо данной скобки можно всегда записывать +. Итак, (x²)²-14x²-32=(x-4)(x+4)(x²+2).

Знаменатель – квадрат разности: x2+8x+16=(x+4)²

Решение

Наименьшее целое решение -12, количество: (-12; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4) 9

Произведение -12∙9=-108.

Ответ -108

B6. Показательное неравенство

Задание. Найдите сумму всех целых отрицательных чисел из области определения функции

Теория  может пригодиться рациональные неравенства

Решение

Так как функция представляет из себя корень, то ее область определения задается условием: подкоренное выражение неотрицательно:

Так как 36>1, то переходим к рациональному неравенству:

Сумма целых отрицательных решений -8+(-7)+(-6)=-21.

Ответ. -21

A13. Неравенства

Задание. Укажите номера верных утверждений:

1)    Решением неравенства (x-2)²>0 является любое число;

2)    Неравенства (x+2)²>0 и 

   равносильны;

3)    Неравенства x²+5≤0 |x|≤√5 равносильные;

4)    Неравенство (x-5)²<0 не имеет решений;

5)    Решением неравенства x²-4>0 являются числа 2 и -2.

Варианты ответов.

1)    1, 3;

2)    1, 5;

3)    3, 4;

4)    2, 4;

5)    2, 5.

Теория. Решением неравенства называется множество ВСЕХ чисел, при подстановки которых в условие вместо переменной, получаем верное числовое равенство. Равносильные неравенства – это неравенства, множества решений которых совпадают.

Практически все эти неравенства можно решить методом интервалов, однако я предложу более простой способ.

Решение

1)    Не верно, так как при x=2 данное неравенство не является верным числовым неравенством.

2)    Верно, так как решением первого неравенства будет любое число кроме -2. (квадрат некоторого числа– число неотрицательное, оно больше нуля всегда, когда под квадратом число, отличное от нуля, а x=-2 обратит выражение, стоящее под квадратом, в 0. Второе неравенство так же имеет решением все числа, кроме -2 (не входит в область определения), то есть квадрат выражения в данном случае строго положительный и 1 разделить на положительное число – положительное число всегда, значит подходит любое число.

3)    Не верно. Первое неравенство не имеет решений, квадрат числа плюс положительное число в результате дадут положительное число, которое ни при каких условиях не может быть меньше отрицательного. Второе неравенство имеет решения, например, 0 или 1.

4)    Верно. Квадрат – число неотрицательное, не может быть меньше отрицательного.

5)    Не верно, так как при подстановке этих чисел вместо переменной, получим неверное числовое равенство.

Ответ. 4

B6. Неравенство с модулем

Задание. Найдите произведение наибольшего отрицательного и наименьшего положительного целых решений неравенства

  x²-6x-4|x-3|-12≥0.

Анализ. Воспользуемся самым простым способом - методом интервалов с использованием определения модуля

Теория. Так как после раскрытия модуля неравенство станет рациональным, вспомним теорию по рациональным неравенствам

Решение.

Находим нули подмодульных выражений (в нашем случае только один модуль, значит и подмодульное выражение только одно: x-3. Находимо его нули:

x-3=0

x=3.

Числовая прямая разбивается этим нулем на два промежутка, на каждом из них раскроем модуль по определению: если подмодульное выражение неотрицательно, то модуль раскрывается с тем же знаком, а если отрицательно – с противоположным.

Общее решение xϵ(-∞; -4] Ս [10; +∞).

Наибольшее целое отрицательное решение -4; наименьшее целое положительное решение 10. Их произведение -4∙10=-40.

Ответ. -40