B6. Неравенство с модулем

Задание. Найдите произведение наибольшего отрицательного и наименьшего положительного целых решений неравенства

  x²-6x-4|x-3|-12≥0.

Анализ. Воспользуемся самым простым способом - методом интервалов с использованием определения модуля

Теория. Так как после раскрытия модуля неравенство станет рациональным, вспомним теорию по рациональным неравенствам

Решение.

Находим нули подмодульных выражений (в нашем случае только один модуль, значит и подмодульное выражение только одно: x-3. Находимо его нули:

x-3=0

x=3.

Числовая прямая разбивается этим нулем на два промежутка, на каждом из них раскроем модуль по определению: если подмодульное выражение неотрицательно, то модуль раскрывается с тем же знаком, а если отрицательно – с противоположным.

Общее решение xϵ(-∞; -4] Ս [10; +∞).

Наибольшее целое отрицательное решение -4; наименьшее целое положительное решение 10. Их произведение -4∙10=-40.

Ответ. -40