Нахождение производных сложных функций (пример)

Итак, как же пользоваться таблицей производных сложных функций?
Если вместо функции u мы имеем x, то умножать на x' не нужно, так как x'=1.Функция в данном случае будет простейшая.  Например:

См. на формулу (5) в таблице.

Теперь возьмем производную сложной функции.  

Пользуемся той же самой формулой (5), однако здесь вместо u стоит уже другая, новая функция: arcsin x. Так как это функция, умножать на (arcsin x)' нужно. Для  нахождения этой производной смотрим на формулу (11) и на u' не умножаем, так как u=x, то есть функция простейшая.

Если логарифмическая или тригонометрическая функция находится в какой-либо степени, имеет место такая запись: 

Однако мы будем понимать, что здесь в третьей степени записана вся функция. И для нахождения ее производной пользуемся формулой (1)

домножаем на u', так как u=sin( e^(x)). и далее до тех пор, пока не получим простейшую функция (u=x).

Теперь решим более сложный пример. Найдем производную функции

Для нахождения производной данной функции, помимо таблицы производных нам понадобятся правила вычисления производных: 

Так как мы находим производную суммы двух функций, записываем по правилу пункт 1:

Теперь первое слагаемое - степенная функция пятой степени. Идем слева направо, ищем штрихи и я комментирую нахождение каждого из них (каждой производной). Смотрим в таблице производных (1), а второе слагаемое - дробь. Смотрим в правила пункт 4:

Первая производная представляет сумму двух функций, смотрим правила пункт (1), вторая - снова сумма двух функций, правила пункт (1), третья - корень от некоторой функции, таблица (8):

Первая производна - степень числа e. Таблица (3), вторая - производная натурального логарифма, таблица (5). Третья - производная произведения числа на функцию - правила, пункт (5). Четвертая - производная числа (нет x). Производная числа равна 0! Пятая - производная суммы нескольких функций, правила, пункт (1). Я взяла пятую производную сразу, далее запишу только результат.

Первая производная - смотрим в таблице производную синусов (6), причем функция станет уже простейшей, вторая - производная косинусов. В таблице (7), функция простейшая.

Взяв эти производные, штрихов у нас не осталось, а значит, нахождение производной окончено. 

Таблица производных сложных функций

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

У студентов приближается самая жаркая пора - сессия, а так как ни один студент-заочник экономической специальности не сможет сдать зачет или экзамен по высшей математике, не освоив решение систем линейных уравнений методом Гаусса, разберу сразу на примере.

Составим расширенную матрицу системы, выписав коэффициенты переменных в квадратную матрицу 3х3, а через вертикальную черту запишем столбец ответов:

Далее приведем эту матрицу к треугольному виду методом прямоугольника (будем добиваться того, чтобы ниже главной диагонали стояли 0. Берем первый элемент -3, этот элемент будет разрешающим, а стока, в которой он стоит - разрешающей строкой. Ниже разрешающего элемента записываем нули, разрешающую строку оставляем без изменения, а все остальные элементы высчитываем по правилу прямоугольника: умножаем разрешающий элемент на преобразовываемый элемент, таким образом получаем одну диагональ и из произведения вычитаем произведение элементов, которые стоят на другой диагонали. Получим матрицу

Ниже я объясню, каким образом получили эту матрицу:

Чтобы узнать, какой элемент будет стоять на месте -4, составляем разность: умножаем разрешающий элемент (-3) на преобразовываемый (-4) и из произведения вычитаем произведение чисел, одно из которых стоит под разрешающим элементом в преобразовываемой строке (-7), а второе - над преобразовываемым числом в разрешающей строке (5). Итак, (-3・(-4))-(-7・5)=12-(-35)=12+35=47

Чтобы узнать, какой элемент будет стоять на месте 4, составляем разность: умножаем разрешающий элемент (-3) на преобразовываемый (4) и из произведения вычитаем произведение чисел, одно из которых стоит под разрешающим элементом в преобразовываемой строке (-7), а второе - над преобразовываемым числом в разрешающей строке (-4). Итак, (-3・4)-(-7・(-4))=-12-28=-40

Далее поступаем аналогично: (-3・(-3))-(-7・(-7))=9-49=-40

(-3・(-4))-(-7・5)=47

 (-3・3)-(-7・(-4))=-37

(-3・(-4))-(-7・(-7))=-37

 Теперь разрешающим элементом станет 47, вторая строка - разрешающей. Под этим элементом записываем 0, а остальные находим по правилу прямоугольника и получаем треугольную матрицу:

Ниже объясняю:

(47・(-37))-(47・(-40))=141

(47・(-37))-(47・(-40))=141

Теперь из матрицы записываем систему (коэффициенты переменных записываем перед соответствующими переменными. 

Таким образом мы добились того, что из третьего уравнения системы однозначно находится переменная x3:

Подставляем значение найденной переменной во второе уравнение, находим переменную x2:

Подставляем найденные значения переменных в первое уравнение и находим значение переменной x1.

ОТВЕТ: (1; 0; 1).

Интеграл 1/(1+(sin x)^2)

Вчера наткнулась на интересный, на мой взгляд, интеграл. Привожу его решение.

Первый этап РТ-2018

Уже состоялось обобщающее занятие перед первым этапом РТ-2018, прошло и само тестирование. Разбор наиболее сложных заданий будет опубликован позже, а пока всем нужно хорошенько отдохнуть во время каникул. Набирайтесь сил, дальше будет еще тяжелее!

Перевод периодических дробей в обыкновенные дроби

Рассмотрим дробь 0,5(2). К слову, ни на одном из ЦТ прошлых лет не встречалось задание на перевод этой дроби в обыкновенную, однако именно такое задание попалось в прошлом году на выпускном экзамене для базового уровня. На ЦТ же встречались задания, где просто необходимо было знать, что 0,5(2)=0,5222222222...

При выполнении каких-либо арифметических действий с данной дробью, её сначала надо перевести в обыкновенную. Покажем, как это сделать.

Для начала убедимся, что любое число можно представить в виде суммы: 853=800+50+3; 3,15=3+0,1+0,05; 0,8536=0,8+0,05+0,003+0,0006.

Аналогично число 0,5(2)=0,522222222..=0,5+0,02+0,002+0,0002+0,00002+...

Легко заметить, что начиная со второго слагаемого у нас прослеживается некая закономерность, а именно, числа 0,02; 0,002; 0,0002; 0,00002 и т.д. составляют геометрическую прогрессию, т.к. каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, на 0,1. Для нахождения этого числа достаточно разделить любой член прогрессии на предыдущий, например, третий на второй 0,0002:0,002=0,1 или второй на первый: 0,002:0,02=0,1 (важно! для того, чтобы не совершить ошибок, при делении десятичных дробей обратите их в обыкновенные). Число 0,1 постоянно и называется знаменателем прогрессии и обозначается q. Т.к. |q|<1, а 0,1<1, то прогрессия называется бесконечно убывающей и можно найти ее сумму по формуле

Где b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель.

В нашем случае b1=0,02; q=0,1.

Находим 

Итак мы получаем, что 0,5(2)=0,5+0,02+0,002+0,0002+0,00002+...=0,5+2/90=47/90.

Т.е. 0,5(2)=47/90

Задание: самостоятельно перевести в обыкновенные дроби числа

0,(3)

0,2(6)

0,(18) Подсказка: 0,(18)=0,1818181818...=0,18+0,0018+0,000018+...

Внесение (вынесение) множителя из-под знака корня

Сегодня рассмотрим следующую тему: как вносить или выносить множитель из-под знака корня. Именно множитель (!!!) в предыдущей публикации были слагаемые - их никуда выносить нельзя. Я рассмотрю данную тему на примере квадратного корня, однако аналогичные преобразования могут быть выполнены с корнями любой четной степени.

Для начала разберем, что означают записи:

x>0 означает, что переменная x положительна;

x<0 означает, что переменная x отрицательна;

x≥0 означает, что переменная x неотрицательна;

x≤0 означает, что переменная x неположительна.

Никакой знак минус перед переменной не укажет вам на знак переменной! Запись -x>0 является всего лишь линейным неравенством с одной переменной, решая которое (умножаем обе части неравенства на -1, меняем знак неравенства на противоположный), получаем x<0, что говорит о том, что переменная отрицательна. 

Вынесение из-под знака корня.

Здесь нам пригодится уже знакомое тождество

Пример: Вынести множитель из-под знака корня:

Выполняем следующую цепочку преобразований, главная цель которой заключается в том, чтобы у максимального числа множителей под знаком корня выделить вторую степень (т.к. корень второй степени).

И сейчас нам нужно раскрыть знак модуля. С числом вопросов не возникает: |-3|=3, однако с переменной не все так однозначно. Для того, чтобы раскрыть модуль для переменной необходимо воспользоваться определением модуля и узнать, какой знак имеет переменная (положительна или отрицательна). Так как в тексте задания отсутствует условие, накладывающее ограничения на переменную, начинаем искать скрытые подсказки. И тут на помощь нам приходит естественная область определения данного выражения. Так как выражение под корнем всегда неотрицательно, а под корнем у нас остался x, накладываем условие: x≥0, это означает, что x^3≥0, а значит |x^3|=x^3:

Рассмотрим еще один пример:

Здесь нас не интересует знак переменной x, так как применимо равенство: 

Теперь о внесении под знак корня.

Пример: внести под знак корня

Так как вносить под корень четной степени можно только неотрицательный множитель, необходимо определить знак выражения -2b. Для этого рассмотрим естественную область определения: b^3≥0, значит b≥0, а значит -2b≤0. Получили, что множитель перед знаком корня отрицательный, поэтому знак минус оставляем перед корнем, внося под корень положительный множитель:

 Внести под знак корня

Естественная область определения: -a≥0, значит a≤0, а значит 3a≤0. Множитель перед знаком корня отрицательный, поэтому знак минус оставляем перед корнем, внося под корень положительный множитель:

 Внести под знак корня

Естественная область определения: a-5≥0, значит 5-a≤0. Множитель перед знаком корня отрицательный, поэтому знак минус оставляем перед корнем, внося под корень положительный множитель:

Извлечение квадратного корня из суммы или разности

При работе с иррациональными числами наибольшие затруднения возникают в случае, когда необходимо извлечь корень из суммы или разности двух чисел: чаще одного рационального, а другого - иррационального. Рассмотрим на примере:

Так как отсутствует формула, позволяющая разбить данный корень на разность двух корней, 

мы воспользуемся следующими формулами: 

 и

Таким образом, выделив под корнем три слагаемых и свернув их в формулу квадрата разности (в нашем случае), извлечем корень из квадрата, что упростит дальнейшие вычисления.

Итак, начнем с иррационального числа, в нашем случае это -16√3. То, что число отрицательное, показывает нам, что сворачивать будем в квадрат разности. Число -16√3 содержит в себе удвоенное произведение двух чисел. Т.е. -16√3=-2ab. Это означает, что ab=8√3. Переберем все возможные варианты:

1. 8√3=8*√3;
2. 8√3=2*4√3;
3. 8√3=4*2√3;
4. 8√3=1*8√3.

Для формулы необходимо к удвоенному произведению добавить сумму квадратов выражений a и b. Выполним это для каждого из вариантов и определим, в каком из случаев сумма будет составлять 28, чего требует условие.

1. -2*8*√3+64+3=67-16√3;
2. -2*2*4√3+4+48=52-16√3;
3. -2*4*2√3+16+12=28-16√3;
4. -2*1*8√3+1+192=193-16√3.

Получается, что нам подходит третий случай, в котором выражение 28-16√3 раскладывается в формулу квадрата разности двух выражений: 4 и 2√3. Свернем по формуле и продолжим вычисления: 

Теперь необходим раскрыть модуль, используя определения модуля. Для этого нужно определить знак подмодульного выражения. Т.к. 4>2√3 (чтобы узнать, какое число больше, можно просто возвести оба этих числа в квадрат. И т.к. квадрат 4 равен 16, а квадрат 2√3 равен 12 и 16>12, то и 4>2√3), то модуль раскрывается с тем же знаком, т.е. |4-2√3|=4-2√3.

Для закрепления данной темы предлагаю вам самостоятельно извлечь корень из следующих выражений: