В6, показательное уравнение

Задание. Найдите произведение корней уравнения

Теория Способы решения показательных уравнений

Анализ. Очевидны два основания степеней - 2 и 5. А так же тот факт, что в правой части уравнения четыре слагаемых наталкивает нас на мысль, что можно попробовать разложить правую часть на множители способом группировки.
Решение.

Произведение корней 3•6=18

Ответ. 18

B1, свойства параболы

Задание. Для начала каждого из предложений А - В подберите его окончание 1 - 6 так,чтобы получились верные утверждения

 Ответ запишите в виде букв и цифр, соблюдая алфавитную последовательность букв левого столбца. Учтите, что некоторые данные правого столбца могут использоваться несколько раз или не использоваться вовсе. Например А1Б1В4.

Теория здесь

Решение. А) приведем запись функции к стандартному виду и найдем координаты ее вершины по формуле:

 Так же это задание можно выполнить, зная как преобразовывать графики функций, потому что график функции

 Получен из графика функции

 Путем смещения ее на 2 единичных отрезка вправо по оси Ох и на 1 единичный отрезок вниз по оси Оу. Получаем те же координаты вершины (2; -1), только уже устно.

Б) Приводим запись функции к стандартному виду.

 Знаем, что функция пересекает ось Оу в точке (0; c), получаем точку

 В) Пересечение с осью Ох - это нули функции (точки с ординатой 0):

 Получаем квадратное уравнение, находим его корни и записываем полученные точки пересечения графика функции с осью Ох:

Ответ: А4Б1В3

B4, иррациональное уравнение

Задание. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения

В ответ запишите полученный результат, увеличенный в 6 раз.

Теория здесь.

Решение. Так как наше уравнение не является простейшим, очевидно мы не будем вводить замену, то необходимо найти ОДЗ (область допустимых значений) данного уравнения. Она задается следующим образом (каждое подкоренное выражение неотрицательно): 

Так как на множители мы разложить не сможем, то придется возводить обе части в квадрат, однако. Внимание!!! Мы можем это сделать только убедившись, что обе эти части неотрицательные. Так как в левой части мы имеем разность корней, мы не можем сказать, какого знака будет эта часть. Во избежание получения лишних корней, перенесем второе слагаемое из левой части в правую, таким образом получим в левой части выражение под корнем второй степени, которое всегда неотрицательное, а в правой - сумму двух корней второй степени, которая так же будет неотрицательной. Далее имеем право возвести обе части в квадрат.

 Мы получили простейшее уравнение третьего типа (корень равен функции). Можно решать его по правилу, однако я заметила, что для решения этого уравнения правая часть должна быть неотрицательной (так как значение корня всегда число неотрицательное), т.е.

 С учетом нашей ОДЗ получаем единственное число, которое подходит:

 То есть мы получили решение уравнения (так как в Б-части какой-либо ответ должен существовать). На деле же может оказаться, что это число не является корнем исходного уравнения, поэтому нам необходимо убедиться в правильности решения, подставив это число для проверки в уравнение:

 То есть полученное число действительно является корнем уравнения.

Ответ. 16

B5, правильный многоугольник.

Задание. Определите количество сторон правильного многоугольника, если его внутреннний угол равен 170॰.

Теория. Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника находится по формуле 180॰(n-2).

Решение. Так как у правильного n-угольника равных n углов, то для нахождения каждого его угла разделим сумму углов на количество. Составим уравнение.

Ответ. 36

A18, призма

Задание 

Анализ. Будем внимательны, так как дано отношение AM : AB. (а не AM : MB). Задача имеет два решения, однако они оба основаны на подобии треугольников. Приведу решение, в котором построю сечение призмы плоскостью PMK.

Теория. Правильной призмой называется многогранник, у которого в основании лежат правильные n-угольник, а боковые грани - прямоугольники. (По условию все ребра призмы равны, значит боковые грани являются квадратами)

Решение. Построим сечение призмы плоскостью PMK. M и K лежат в одной плоскости, поэтому соединим их. M и P также лежат в одной плоскости, поэтому тоже соединяем их. Воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые их пересечения будут параллельны между собой. Плоскость PMK пересекает плоскость ABC по прямой MK. Так как плоскости ABC и A1B1C1 параллельны, то плоскость PMK будет пересекать плоскость A1B1C1 по прямой, параллельной MK. Проведем через точку P прямую, параллельную MK. Она пересекает B1C1 в точке X.

Получили искомое сечение PMKX. (подробнее о сечениях)

Теперь будем искать отрезок KX.

Для начала найдем получившиеся отрезки.

BK=12; PB1=12;

AM : AB = 1 : 3. так как AB=24, то AM = 8, значит MB=16.

△MBKလ△PB1X (докажите самостоятельно), значит
MB : PB1 = BK : B1X или 16 : 12 = 12 : B1X. Откуда B1X=9.

Фигура B1XKB - прямоугольная трапеция (BK॥B1X)

Опустим высоту XH. BH = B1X = 9; Значит HK=12-9=3. XH = BB1 = 24. Из △XHK по теореме Пифагора находим искомый отрезок KX: KX = √(9+576) = √585=3√65.

Ответ. 2

A16, пирамида

Задание. Основанием пирамиды является ромб, длина стороны которого равна 13, а одна из диагоналей - 10. Найдите сумму длин боковых ребер пирамиды, учитывая, что ее высота проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 35.

Варианты ответов:

1. 2√47+50;
2. 47;
3. 72;
4. 50√2+74;
5. 5√37+52.

Решение.

  

 Пусть BD = 10. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, и точкой пересечения делятся пополам, поэтому BO = 5, находим AO из △BOA (ㄥAOB=90°) по теореме Пифагора: AO=√(169-25)=√144=12.

Так как SO - высота пирамиды, то она перпендикулярна плоскости основания, а значит SO丄BD;  SO丄AC.

Находим SB из △SOB (ㄥBOS=90°) по теореме Пифагора: SB=√(35^2+5^2)=√1250=25√2.

△SOB=△SOВ (по двум катетам), значит SD=SB=25√2

Находим SA из △SOA (ㄥAOS=90°) по теореме Пифагора: SB=√(35^2+12^2)=√1369=37.

△SOA=△SOC (по двум катетам), значит SC=SA=37.

Сумма длин боковых ребер 25√2+25√2+37+37=50√2+74

Ответ. 4

A7, соотношение сторон и углов в треугольнике

Задание. Для сторон треугольника ABC укажите номер верного утверждения, если известно, что угол A равен 30॰, угол B равен 108॰, угол С равен 42॰.
Варианты ответов.
AC>AB>BC;
AC>BC>AB;
AB>AC>BC;
AB>BC>AC;
BC>AC>AB.
Теория. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Решение. Расставим углы в порядке убывания. ∠B>∠C>∠A. Против угла B лежит сторона AC, против угла C - сторона AB, против угла A - сторона BC. Значит, AC>AB>BC.
Ответ. 1

A2, правильная пирамида

Задание.

Вариант ответов.

1. 24;
2. 16;
3. 12;
4. 48;
5. 32.

Теория. Правильная n-угольная пирамида - это многогранник, у которого основанием является правильный n-угольник, а боковые грани - n равных равнобедренных треугольников.

Решение. Так как все треугольники, образующие боковую поверхность равны между собой, то и их площадь равны. Площадь одного треугольника по условию равна 4, всего таких треугольников 6 (видно по чертежу)
4 • 6 = 24
Ответ. 1

A1, свойства степеней

Задание

Теория здесь

Решение.

Ответ. 4

A10, графический смысл модуля

Задание.

Теория. Графический смысл модуля - это расстояние. Расстояние от числа a до нуля на числовой оси обозначается как |a|, а расстояние между точками - как модуль разности координат этих точек. Понятие "не меньше" означает больше или равно.
Решение. Исходя из теоретической части получаем решение данного задания: |x-(-3)|>=5 или
|x+3|>=5.
Ответ. 2

A6, последовательности

Задание. Какое из чисел 21, 50, 64, 10, 6 является членом последовательности, заданной формулой.

Варианты ответов

1. 21,
2. 50,
3. 64,
4. 10,
5. 6

Анализ. Не путаем номер члена последовательности и член последовательности. n - это номер, a(n) - это член последовательности. Поэтому, если про числа говорят, что они являются членами последовательности, подставляем их вместо a(n) и находим соответствующий номер, который может быть только натуральным числом.

Решение. Легко заметить, что

Поэтому вместо a(n) может быть только число, которое является квадратом какого-либо числа. Из предложенных чисел подходит только 64.

Ответ. 3

A5, обратные тригонометрические функции

Задание 

Решение

Ответ. 5

A4, окружность

Задание

 Варианты ответов:

1. 13
2. 12
3. 16
4. 21
5. 10

Решение

По аксиоме об измерении отрезков  MK=AM+AB+BK. 

По условию, AM=7, BK=3, MK=26. Тогда AB=MK-AM-BK=26-3-7=16

Ответ. 3

A17, тригонометрическое уравнение

Задание

Анализ. Простейшее тригонометрическое уравнение вида tg x = a.

Решение

Ответ. 1

A15, дробно-рациональное уравнение, логарифмическое уравнение.

Задание.

Теория. Уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Анализ. Для решения данного задания необходимо решить оба уравнения и убедиться, что множества их ответов совпадают. Ни в коем случае нельзя решить одно уравнение и подставить полученные ответы в остальные, потому что так можно совершить ошибку и указать в ответе уравнение-следствие, а не равносильные.

Решение. Решим первое уравнение, воспользовавшись основным свойством пропорции:

Далее нам предстоит выбрать логарифмическое уравнение, которое имеет так же один корень, равный 49. Все эти уравнения решаются по определению логарифма: 

Получаем, что четвертое уравнение равносильно данному.

 Ответ. 4

B8, показательное уравнение

Задание

Анализ. Обычное однородное показательное уравнение, для решения которого необходимо знать свойства степеней и уметь решать однородные показательные уравнения.

Теория Способы решения показательных уравнений

Решение

Ответ. 15

B9, свойство биссектрисы, неравенство треугольника.

Задание

Теория. Биссектрисой угла треугольника называется отрезок, который выходит из вершины угла и делит этот угол пополам. Свойство биссектрисы: биссектриса разбивает сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам.

Анализ. В условии не сказано, какой отрезок из полученных оказался равен одной из сторон, очевидно, что нужно это понять, так как не может быть двух верных ответов. При решении проверим, может ли существовать получившийся треугольник, воспользовавшись неравенством треугольника: любая сторона треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

Решение. Пусть AB=75, AC=45. Допустим, отрезок DC оказался равным отрезку AC. Тогда по свойству биссектрисы треугольника:

Откуда DB=75. Значит сторона BC получилась равна 45+75=120.
Проверим, существует ли такой треугольник.
Так как BC=AC+AB (120=45+75), это противоречит неравенству треугольника и значит, такого треугольника не существует.
 Допустим, отрезок DC оказался равным отрезку AB. Тогда по свойству биссектрисы треугольника:

Значит сторона BC получилась равна 125+75=200.
Проверим, существует ли такой треугольник.
Так как BC>AC+AB (200>45+75), это противоречит неравенству треугольника и значит, такого треугольника не существует.
Допустим, отрезок BD оказался равным отрезку AB. Тогда по свойству биссектрисы треугольника:

Откуда DC=45. Значит сторона BC получилась равна 45+75=120.
Проверим, существует ли такой треугольник.
Так как BC=AC+AB (120=45+75), это противоречит неравенству треугольника и значит, такого треугольника не существует.
Допустим, отрезок BD оказался равным отрезку AС. Тогда по свойству биссектрисы треугольника:

Значит сторона BC получилась равна 45+27=72.

Проверим, существует ли такой треугольник.

Так как BC<AC+AB (72<45+75)

AC<AB+BC (45<72+75)

AB<AC+BC (75<45+72), это означает, что неравенство треугольника выполняется, значит такой треугольник существует. То есть, длина третей стороны треугольника равна 72.

Ответ. 72