Дроби. Действия с обыкновенными дробями

Обыкновенной дробью называется число, записанное в виде m/n, где m и n – некоторые числа. Причем число m называется числителем дроби, а число n – знаменателем дроби. 

 Неправильная дробь всегда больше либо равна единице (равна в том случае, если числитель равен знаменателю). Таким образом, неправильную дробь всегда можно перевести в смешанное число, а смешанное число – в неправильную дробь. Для того, чтобы неправильную дробь перевести в смешанное число, нужно числитель разделить на знаменатель с остатком. Неполное частное будет целой частью, остаток – числителем дробной части, а знаменатель остается прежним.

 Основное свойство дроби.

Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, число.

 Деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же число применяют при сокращении дробей. Сократить дробь – значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же, отличное от нуля, число. По признакам делимости подбирают числа на которые делятся и числитель и знаменатель и постепенно сокращают дробь.

Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число применяют при нахождении общего знаменателя для нескольких дробей, потому что складывать и вычитать дроби можно только с одинаковыми знаменателями.

Действия с дробями

Чтобы сложить или вычесть две дроби, нужно сначала привести их к общему знаменателю (общим знаменателем будет НОК знаменателей, больше информации), а затем сложить или вычесть их числители, знаменатель оставив прежним, в конце сократить полученный результат, если это возможно. Например, 

 Будем внимательны при сложении отрицательных чисел! Помним, что знак    «-» относится к тому числу, перед которым он стоит, поэтому лучше всего записать его в числитель следующей за ним дроби:

 При сложении и вычитании смешанных чисел лучше (но не обязательно) перевести их в неправильные дроби и дальше выполнять действия по правилу, изложенному выше.

Для умножения дробей числитель умножают на числитель, а знаменатель – на знаменатель. Сокращать лучше в процессе умножения, а не результат. Пример:

 Для умножения смешанных чисел всегда переводить их в неправильную дробь!

Для деления дробей первую дробь оставляют без изменения, деление заменяют умножением, а вторую дробь «переворачивают» и далее выполняют умножение:

 А теперь предлагаю вам, следуя правилам, решить пример на все действия.

Уравнения. Рациональные уравнения.

Уравнением с одной неизвестной величиной называется выражение вида P(x)=0. То есть, как только в алгебраическом выражении вы увидели одну неизвестную величину (чаще принято обозначать ее x) и знак =, то перед нами уравнение. Итак, что же всегда можно делать при решении уравнений? (равносильные переходы):

1.  Переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, меняя при этом знак слагаемого на противоположный.
2. Умножать или делить обе части уравнения на отличное от нуля число (ни в коем случае на выражение, содержащее переменную, если только изначально вы не проверили, что в случае, если выражение, на которое вы делите или умножаете, не может равняться нулю исходя из условия задачи)

Чтобы решить уравнение, нужно сначала определить его тип. Рациональным будем называть такое уравнение, где переменная встречается только с натуральной степенью (сюда же будем относить и дробно-рациональные, где переменная может оказаться в знаменателе, но она также будет иметь только натуральную степень). Никаких корней, логарифмов, переменной в степени и конечно же, тригонометрических функций с аргументом x.

Способов решения дробно-рациональных уравнений существует гораздо больше, однако в ЦТ чаще всего встречаются следующие:

1.  Приведение рационального выражения к общему знаменателю.
2.  Разложение на множители
3. Замена переменных
4. Метод введения новых переменных

Для примера предлагаю прорешать вам самостоятельно следующие уравнения с моими подсказками и свериться с ответами.

Решенные задания из тестов:
А15, РТ-18(2 этап)
A8, РТ-19 (1 этап)