B10. Иррациональное уравнение

Задание. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения

 В ответ запишите полученный результат увеличенный в 7 раз.

Анализ. Отработанные до блеска примеры на иррациональные уравнения с моими учениками на занятиях, исписанные стопки листков, заученная до автоматизма теория - и все равно только один мой ученик справился с заданием - и то, как выяснилось потом, угадал.

Теория. Идем строго по схеме
Решение.

Простейшее уравнение? – нет.

Замену вводим? – нет.

Значит находим ОДЗ:

Так как разложить на множители не получится, нужно возводить обе НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ части в квадрат, но если про правую часть мы можем утверждать, что она неотрицательна (так как справа стоит корень, значение которого всегда неотрицательно), то про левую часть, представляющую из себя разность двух корней, мы такого сказать не можем. А вот если перенесем из левой части вправо корень с «минусом», то при переносе его знак изменится на «плюс» и сумма двух корней уже будет неотрицательным числом, что позволит нам возвести обе части в квадрат:

Далее мы приходим к простейшему иррациональному уравнению третьего типа, для решения которого от иррационального уравнения переходят к системе:

При решении квадратного уравнения выйдем на очень большие значения корня, однако если заметить, что 3x-16=3x-15-1=3(x-5)-1, можно догадаться ввести замену: x-5=t, откуда x=t+5, что значительно облегчит дальнейшие вычисления:

Производим обратную замену: x=t+5=3+5=8

Увеличенный в 7 раз результат: 7∙8=56

Ответ. 56