Числовые промежутки на числовой прямой

 Прямая, на которой выбрано начало отсчета, единичный отрезок и показано направление возрастания, называется числовой прямой. На числовой прямой чем больше число, тем правее оно находится.

Числовой промежуток  (a; b) включает в себя все числа, за исключением самих чисел  a и b  , которые больше a  , но меньше b

Числовой промежуток [a; b] включает в себя все числа, включая  и числа a и b, которые больше a, но меньше b

Числовой промежуток (-∞; a) включает в себя все числа, за исключением числа a  , которые меньше a 

Числовой промежуток [a; +∞) включает в себя все числа, которые больше a, и само число a

Числовой промежуток (-∞; a]   включает в себя все числа, которые меньше a, а также само число a 

Текстовые задачи (Часть 2)

 Давайте рассмотрим задачу:

Сестра и брат купили вместе 12 конфет. Брат купил на 2 конфеты меньше, чем сестра. Сколько конфет купил каждый?

Самая главная ошибка, которую при решении допускают ученики - они рассуждают так: раз купили вместе 12, а ребят двое, то логично 12:2. Но нет!!! Общую сумму можно делить на количество только в том случае, когда в задаче сказано, или по смыслу понятно, что что-то где-то распределяется ПОРОВНУ! Для решения данной задачи это неуместно. (А как ее решить - смотри здесь)

Рассмотрим задачи, где можно и нужно распределять величины поровну:

Школьники в парке 4 дня сажали по 75 деревьев ежедневно, а 3 дня – по 80 деревьев. Сколько всего деревьев посадили школьники за эти дни?

Здесь очевидно решение: чтобы найти, сколько деревьев посадили школьники за эти дни, необходимо узнать в отдельности, сколько деревьев посадили школьники за первых 4 дня (т.к. количество высаживаемых деревьев ежедневно - одинаковое) и за оставшихся 3 дня, а затем сложить полученные результаты.

1) 75*4=300 (д) - посадили школьники за первых 4 дня

2) 80*3=240 (д) - посадили школьники за оставшихся 3 дня

3) 300+240=540 (д) - посадили школьники

В магазине за день продали 29 телевизоров и 5 видеомагнитофонов по одинаковой цене. За телевизоры получили на 960 рублей больше, чем за видеомагнитофоны. Сколько денег получили за телевизоры и видеомагнитофоны в отдельности?

Так как телевизоры и видеомагнитофоны имеют одинаковую цену, и по условию задачи сказано, на сколько рублей выручка от продажи телевизоров превосходит выручку от продажи видеомагнитофонов, то для решения задачи необходимо узнать, на сколько телевизоров продали больше, затем разницу в выручке разделить на разницу в товарах, узнав тем самым цену одного наименования, а далее уже находить стоимость телевизоров и видеомагнитофонов в отдельности.

1) 29-5=24 (шт) - разница в продажи

2) 960:24=40 (р) - цена за единицу товара

3) 40*29=1160 (р) - выручка от продажи телевизоров

4) 40*5=200 (р) - выручка от продажи видеомагнитофонов)

ИЛИ: 4) 1160-960=200 (р)

Требуется смешать 5 частей песка и 2 части цемента. Сколько цемента и песка в отдельности надо взять, чтобы получить 140 кг смеси?

Задачи на части можно решать либо по действиям, либо с помощью уравнения - что предпочтительнее.

1) 5+2=7 (частей) - входит в смесь

2) 140:7=20 (кг) - масса одной части

3) 20*5=100 (кг) - масса песка

4) 20*2=40 (кг) - масса цемента

ИЛИ 4)140-100=40 (кг)

Уравнением задача решается так: Пусть x кг - масса одной части, тогда масса песка в растворе 5x, а масса цемента 2x. Масса раствора равна 5x+2x=7x, что по условию задачи составляет 140 кг. Составим и решим уравнение:

7x=140

x=140:7

x=20

Значит, масса одной части 20 кг, тогда масса песка 20*5=100 кг, а масса цемента 20*2=40 кг

Привожу задачи для самостоятельного решения

1. Для школы купили 2 телевизора и 4 радиоприемника. За всю покупку заплатили 756 рублей. Цена телевизора 270 рублей. Сколько стоит радиоприемник?

2. В трех одинаковых автобусах 78 сидячих мест. Сколько сидячих мест в 6 таких автобусах? А в семи?

3. В один ларек привезли 192 кг огурцов, а в другой – 152 кг. Во второй привезли на 5 ящиков меньше, чем в первый. Сколько ящиков огурцов привезли в каждый ларек?

4. Бронза содержит 41 часть меди, 8 частей олова и 1 часть цинка. Сколько весит кусок бронзы, в котором цинка на 1 кг 764 г меньше, чем олова?

5. Несколько детей разделили поровну меду собой 28 конфет. Если бы детей было на 3 меньше, то каждый получил бы дополнительно еще 3 конфеты. Сколько было детей?

Текстовые задачи. Часть 1.

 Самой сложной темой для объяснения для меня, как репетитора, являются текстовые задачи. Не потому, что я их не люблю - напротив, это моя самая любимая тема. Однако невозможно за 1 (2, 3 и даже 4 урока) объяснить и научить решать текстовые задачи. База мышления закладывается на протяжении обучения в начальной школе. На каждом уроке математики обязательным является решение нескольких задач. С 7 класса задачи становятся эпизодическим элементом урока (что очень зря) и к 11 классу все навыки можно растерять. Именно поэтому я приступила к разработке материалов, содержащих огромное количество текстовых задач и каждый урок буду начинать с пары-тройки задачек.

Для начала рассмотрим несколько задач и поймем, зачем вводят переменную при решении задач.

Итак, задача 1.

1.     В мотке было некоторое количество метров проволоки. После того, как отрезали 19 м, осталось 34 м. Сколько метров проволоки было в мотке?

При решении задачи ученик очень быстро воображает, что ее легко начать решать с конца. Так как мы знаем, что после того, как от мотка отрезали 19 м, в нем осталось 34 м, то для того, чтобы найти, сколько метров было изначально, нужно совершить обратное действие, то есть к остатку прибавить отрезанное количество проволоки:

19+34=53 (м) - было в мотке изначально.

Однако "обратные" действия мы совершаем и при решении уравнения, поэтому вполне обоснованно можем заменить неизвестную величину на x и рассуждать следующим образом: пусть изначально в мотке было x м проволоки, затем от нее отрезали 19, значит осталось (x-19) м, что по условию задачи составляет 34 м. Составим уравнение:

x-19=34

x=34+19

x=53

Согласна, при решении этой задачи введя переменную, мы не получили особого преимущества. Однако рассмотрим еще одну задачу:

Петя задумал число, вычел это число из числа 323 и полученную разность разделил на 11. В результате получилось 25. Какое число задумал Петя?

При решении с конца, решение будет выглядеть следующим образом:

1) 25*11=275 - разность, полученная при вычитании задуманного числа из 323

2) 323-275=48 - задуманное число.

А вот тут еще попробуй пойми, почему разность надо вычитать из 323, ведь кажется, что действие, обратное вычитанию - это сложение! Но все станет на свои места, когда мы будем решать задачу через уравнение.

Обозначим задуманное Петей число за x, тогда после того, как Петя вычел задуманное число из 323, он получил разность (323-x), после того, как разделил ее на 11, получил (323-x):11, что по условию задачи составляет 25. Составим уравнение:

(323-x):11=25

323-x=25*11

323-x=275

x=323-275

x=48

Мне кажется, это гораздо проще.

А вот задачка, которую я рекомендую решать только с помощью уравнений:

В двух мешка 78 кг крупы. В первом мешке на 12 кг меньше, чем во втором. Сколько килограммов крупы в каждом мешке?

Как только не изощряются учителя, пытаясь объяснить решение без уравнения. И допускают, что в двух мешках одинаково, и вводя графическое условие: показывают задачу на отрезках. Зачем? Если отрезок - это и есть "x"? Зачем еще больше запутывать учеников? Давайте просто признаем, что в 5 классе они уже достаточно взрослые, чтобы понять, как решать такие задачи через неизвестную.

Итак, пусть в первом мешке x кг муки, тогда во втором, исходя из условия задачи, на 12 кг больше, а значит, (x+12) кг. Ведь чтобы найти величину, на 12 большую чем некоторая известная величина, мы должны к известной величине прибавить 12. Вот мы и предположили, что масса муки в первом мешке известна, и чтобы не придумывать и не подбирать какое-то число, обозначили его за x. Далее, чтобы найти массу муки в двух мешках (логично же!) надо сложить массу муки в первом мешке (x) и во втором (x+12) и получим общую массу (x+x+12) кг, что по условию задачи составляет 78 кг. Составим уравнение:

x+x+12=78

2x=78-12

2x=66

x=66:2

x=33

Значит, в первом мешке 33 кг муки, а во втором 33+12=45 кг.

И совсем запутанная задача:

Мать старше сына на 20 лет, а сын моложе матери в 5 раз. Сколько лет матери и сколько сыну?

Обозначим возраст сына за x лет - обычно принято меньшую величину брать за x. Просто всегда проще сложить, чем отнять и умножить, чем разделить, а при выражении большей нам и придется умножать или складывать. Далее воспользуемся тем, что по условию известно, что сын моложе матери в 5 раз, то есть мать старше сына в 5 раз, а значит, возраст матери в 5 раз больше возраста сына, то есть матери 5x лет. Далее для нахождения неизвестной надо составить уравнение, то есть уравнять две величины: возраст сына и возраст матери. Конечно, они не равны, но нам сказано, что мать старше сына на 20 лет, а значит, если к возрасту сына прибавить 20, то получим возраст матери (можно было от возраста матери, который больше, отнять 20 и получить возраст сына), то есть: x(возраст сына)+20 = 5x (возраст матери). Составим уравнение:

x+20=5x

перепишем уравнение вот в таком виде:

5x=x+20

5x-x=20

4x=20

x=20:4

x=5

Значит, сыну 5 лет, а матери 5*5=25.

А как можно было решить эту задачу иначе?

Ну и конечно, для отработки навыков в решении задач с помощью уравнений, необходимо много практики. Поэтому предлагаю несколько задач, а уже больше задач вы можете получить, записавшись ко мне на занятие.

1.     Аня собрала в букет 3 тюльпана, 9 гвоздик и 6 хризантем. На сколько меньше в букете было тюльпанов, чем хризантем? Во сколько раз больше в букете гвоздик, чем тюльпанов?

1.     У Пети в коллекции 278 марок, а у его сестры Наташи – на 96 марок больше. Сколько марок у брата и сестры вместе?

1.     В типографии было 8000 кг бумаги. В первый месяц израсходовали 2700 кг бумаги, во второй – на 240 кг меньше. Сколько килограммов бумаги осталось в типографии?

1.     В двух коробках было 16 карандашей. Во второй коробке карандашей было в 3 раза больше, чем в первой. Сколько карандашей было в каждой коробке?

    Володя бросил мяч на 20 м ближе, чем Петя. На сколько метров бросил мяч Петя, если он бросил его на расстояние, в 3 раза большее, чем Володя?

Магазин продал за день 18 кофейных и чайных сервизов, причем чайных в 2 раза больше, чем кофейных. Сколько продали чайных сервизов?

  Для детского сада привезли сатина в 6 раз больше, чем хлопка, известно, что хлопка привезли на 60 м меньше, чем сатина. Сколько метров сатина и хлопка вместе привезли в детский сад?

Действия с отрицательными числами

 Работаем далее над устранением пробелов в арифметике. Смотрим обучающее видео

И выполняем задания

Действия с десятичными дробями

 Посмотрите обучающее видео

Для упражнения предлагаю выполнить следующие задания.

Вычислите:

Алгоритм деления уголком

 Сегодня я добавила новый раздел, который называется "Основа основ". Туда я буду собирать всё то, что ученик, обратившийся к репетитору, скорее всего не знает. Это удивительно, но как показывает практика, слабый в математике ученик не не умеет решать уравнения или задачи, а скорей всего, не знает таблицы умножения, не умеет делить "уголком", не знает, как складывать дроби. Другими словами, у него беда с арифметикой. Конечно, о каких сложных алгебраических преобразованиях можно вести речь с учеником, если он не понимает, что 16 - это квадрат четырёх, что 3/5*5=3 - и не понимает, что это все можно считать устно. Почему один прекрасно считает в уме, а для другого пример вида -3-5 вызывает сложности? Не потому, что у первого родители отобрали калькулятор в первом классе (хотя и поэтому тоже), а потому, что второй мало упражнялся. Не довел до автоматизма свои навыки. Очень грустно, что одиннадцатикласснику нужно объяснять элементарные вещи, что мы под запись узнаем правило о сложении чисел с одинаковыми и разными знаками. Грустно, не потому, что ученик этого не знает, а потому, что только в 11 классе он поймет всю красоту математики. Как часто я слышу, что "ой, да это же все так легко!!!" Ну да, а разве математика сложная?

Вот чтобы мне приходилось реже объяснять на занятиях элементарные вещи, я и создала раздел "Основа основ". И сегодня мы наконец научимся выполнять деление уголком.

Задачи на смеси и сплавы

 Продолжаем изучение задач на проценты и обращаемся к задачам на смеси и сплавы.

Без кучи ненужной теории предлагаю вам просмотреть видео, на котором я объясняю подход к решению таких задач.

Для закрепления темы предлагаю решить несколько задач самостоятельно:

1. Из 400 г 12%-го раствора выпарили некоторое количество воды и получили 16%-й раствор. Какое количество воды выпарили?

 2. Сколько граммов 3%-го и сколько граммов 8%-го растворов соли нужно взять, чтобы получилось 260 г 5%-го раствора?

3. Брокерская фирма приобрела два пакета акций, а затем их продала на общую сумму 7680 р, получив при этом 28% прибыли. За какую сумму фирма приобрела каждый из пакетов акций, если при продажи первого пакета прибыль составила 40%, а при продаже второго—20%?

 Задачи по данной теме из ЦТ

B10, ЦТ19 (этап 1)

А теперь задача хорошего уровня, для тех, кто хочет потренироваться!

 Из бутыли с 12%-м раствором соли отлили 1 л и долили бутыль водой, затем отлили еще 1 л и опять долили водой. В бутыли оказался 3%-й раствор соли. Какова вместимость бутыли?