B10. Показательное уравнение

Задание. Найдите сумму квадратов корней уравнения

Теория Способы решения показательных уравнений

 Решение.

Подробнее о выделении полного квадрата

Ответ. 173

B9. Функции

Задание. Функция y=f(x) определена на множестве всех действительных чисел Ṟ, является нечетной, периодической с периодом T=18 и при xϵ[-9; 0] задается формулой f(x)=x²+9x. Найдите значение выражения f(34)-f(-53).

Теория. Функция называется периодической с наименьшим положительным периодом T, если для любого x из области ее определения верно f(x)=f(x+Tn), где nϵⱫ

Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого x из области ее определения верно f(-x)=-f(x).

Решение. 

f(34)=f(34-18)=f(16)=f(16-18)=f(-2)=(-2)²+9∙(-2)=4-18=-14

f(-53)=f(-53+18)=f(-35)=f(-35+18)=f(-17)=f(-17+18)=f(1)

Так как функция задана на промежутке xϵ[-9; 0] формулой f(x)=x²+9x, известно, что она нечетная, значит, f(1)=-f(-1)=-((-1)²+9∙(-1))=-(1-9)=-(-8)=8

f(34)-f(-53)=-14-8=-22
Ответ. -22

При разборе данного задания настоятельно рекомендую вам разобрать пример из 3 этап РТ-18

B7. Площади фигур

Задание. Площадь параллелограмма ABCD равна 80. Точки M и N лежат на сторонах AD и CD параллелограмма так, что AM:MD=1:3, CN:ND=3:2. Найдите площадь треугольника BMN. 

Анализ. Параллелограмм – квадрируемая фигура, то есть при разбиении параллелограмма на несколько фигур, сумма площадей всех получившихся фигур равна площади параллелограмма. Таким образом, можно найти площади треугольников ABM, BCN, MND и затем вычесть их сумму из площади параллелограмма, получив таким образом площадь треугольника BMN. 

Теория. Площадь параллелограмма находим по формуле S=absinα, где α – угол, между смежными сторонами, площадь треугольника находим по формуле S=1/2absinα, где α – угол, между этими сторонами. Учитывая, что в параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит сумма углов, прилежащих к одной и той же стороне равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей). Если сумма двух углов равна 180°, то их синусы равны (по формуле приведения). Пусть α+β=180°, тогда sin α = sin (180°-β) = sin β.

Решение. Учитывая, что AM:MD=1:3, CN:ND=3:2. Пусть AM = x, тогда MD = 3x, CN=3y, ND=2y, BC=AD=AM+MD=4x, AB=CD=3y+2y=5y.

S(ABCD)=AB∙AD∙sinα=4x∙5y∙sinα=20xysinα=80, откуда xysinα=4

S(ABM)=1/2AB∙AM∙sinα=1/2∙x∙5y∙sinα=5/2 xysinα=10

S(NDM)=1/2DN∙MD∙sinα=1/2∙3x∙2y∙sinα=3 xysinα=12

S(BCN)=1/2BC∙CN∙sinα=1/2∙4x∙3y∙sinα=6 xysinα=24

S(BMN)= S(ABCD)-( S(ABM)+ S(NDM)+ S(BCN))=80-(10+12+24)=80-46=34

Ответ. 34

B2. Свойства графика функции y=sin x.

Задание. Выберите три утверждения, которые являются свойствами функции
y=sin x, заданной на промежутке [-3π; 0].

1.     Функция является периодической с периодом 2π.

2.     Наибольшее значение функции равно 1.

3.     Функция является четной.

4.     Функция убывает на промежутке [-3π/2; -π/2].

5.     Функция имеет пять нулей.

6.     Функция принимает только положительные значения на промежутке      (-2π; -π).

Анализ. Необходимо знать, как выглядит график функции y=sin x

И уметь определять свойства функции по графику
Теория. Функции. Основные понятия
Решение.
Теперь  смотрим на функцию на заданной области [-3π; 0] и определяем ее свойства по графику:

1.     Не верно, так как на заданном промежутке не выполняется условие периодичности функции (для любого x из области определения y(x)=y(x+2πn))

2.     Верно, наибольшее значение функции равно 1 (y(-3π/2)=1).

3.     Не верно, так как для четности функции необходимо выполнение условия: область определения симметрична относительно начала координат, что не выполняется, так как область определения [-3π; 0].

4.     Верно, при значениях x, принадлежащих этому промежутку, функция убывает (спускается вниз с горы).

5.     Не верно, функция имеет четыре нуля.

6.     Верно, при значениях x, принадлежащих этому промежутку, функция принимает только положительные значения (график располагается выше оси Ox).

Ответ. 246

B1. Линии в треугольнике

Задание. Корректно соотнесите начало предложения с его окончанием, исходя из рисунка:

Анализ. Чисто теоретическое задание, однако будем очень внимательны при записи ответов, можно запутаться в буквах при выборе. 

Теория.

Вершиной треугольника ABC называется любая из точек A, B и C.

Биссектриса угла – это луч, который выходит из вершины этого угла и делит данный угол на два равных угла. Биссектриса треугольника – это луч, содержащий биссектрису угла треугольника.

Серединный перпендикуляр к стороне – это прямая, перпендикулярная стороне (образует со стороной угол в 90°) треугольника и проходящая через ее середину.

Высота треугольника – это отрезок, выходящий из вершины треугольника и перпендикулярный противолежащей стороне.

Медиана треугольника – это отрезок, выходящий из вершины треугольника и проведенный к середине противолежащей стороны.

Ответ А5Б1В2

A18. Развертка

Задание. На рисунках 1 и 2 изображены прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁,

основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник (ےA=90°), и ее развертка. Боковая грань BB₁C₁C является квадратом. Найдите площадь полной поверхности призмы, если длина ломаной C₁MB равна 

 и точки C₁, M и B лежат на одной прямой.
Варианты ответов.

1)    14+21√2;

2)    28+14√2;

3)    21√3+14√2;

4)    14+21√2;

5)    21+14√2.

Решение. 

Определим, какие фигуры получились в развертке.

Так как по условию ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник (ےA=90°), обозначим AC=AB=x, тогда BC=x√2, значит B₁C₁=BC=x√2, а так как BB₁C₁C является квадратом, то и CC₁= x√2, то есть все боковые грани призмы x√2, в частности, AA₁= x√2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC₁:

AB=x, AC₁=AA₁+A₁C₁=(x+x√2), BC₁ давно в условии. Связываем теоремой Пифагора: AB²+С₁A²=C₁B².

x²+( x+x√2)²=28+14√2;

2x²+x²+2x²+2√2x²=28+14√2

(4+2√2)x²=7(4+2√2)

x²=7

S_п.пов.=2S(ABC)+2S(AA₁C₁C)+S(BB₁C₁C)=2∙1/2x²+2x²√2+(x√2)²=7+2∙7√2+2∙7==21+14√2

Ответ. 5

A17. Тригонометрическое уравнение

Задание. Найдите (в градусах) сумму корней уравнения 
cos² x-2,5cos x–1,5=0 на промежутке [135°; 675°].
Варианты ответов.

1)    810;

2)    1210;

3)    1320;

4)    2700;

5)    1380.

Анализ. Очень простое тригонометрическое уравнение, в котором сразу напрашивается замена. Более продвинутые ученики могут ее не вводить, а сразу решать квадратное уравнение относительно cos x.

Решение. Вводим замену пусть cos x=t, тогда t²-2,5t–1,5=0.

D=(-2,5)²-4∙(-1,5)=6,25+6=12,25=3,5²,

t₁=-1/2; t₂=3

Обратная замена: cos x=3 (нет решений),

cos x=1/2↔x=±arccos(-1/2)+2πn, nϵⱫ

x=±120°+360°∙n, nϵⱫ

Подставляя различные целые значения n определим корни уравнения, принадлежащие заданному промежутку.

При n=0, x=±120° (оба корня не принадлежат)

При n=1, x=±120°+360°∙1=240° или 480° (оба корня принадлежат)

При n=2, x=±120°+360°∙2=600° или 840° (первый корень принадлежит)

При n=3, проверять нет смысла, так как получатся корни, большие, чем 840°.

Сумма

240°+480°+600°=1320°.

Ответ. 3

A16. Угол между прямой и плоскостью

Задание. Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 и 4. Если диагональ параллелепипеда образует с большей по площади боковой гранью угол, тангенс которого равен √2/4, то тангенс угла наклона этой диагонали к площади основания равен

Варианты ответов.

1)    √14/5;

2)    2√14/5;

3)    2√7/3;

4)    √6/4;

5)    √42/7.

Теория. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками. Угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Анализ. Для решения задачи необходимо определить, какая из боковых граней большая по площади. Так как каждая грань – прямоугольник, а площадь прямоугольника S=ab, то есть произведение его смежных сторон, причем одна из сторон и в одном и во втором случае – высота параллелепипеда, то больше будет площадь той грани, которая построена на большей стороне основания.

Решение.

Пусть AD=3. ВС=4.

Определим угол между диагональю и плоскостью (DСС₁). AD┴(DСС₁), так как AD┴DС как смежные стороны прямоугольника ABCD и AD┴СС₁, так как СС₁┴(ABC), а значит, СС₁ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости (ABC). Получаем, AD перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости (DСС₁), значит, перпендикулярно и самой плоскости.

То есть AD – перпендикуляр к плоскости (DСС₁), AC₁ – наклонная, DC₁ – ее проекция на плоскость (DСС₁), значит, угол между прямой AC₁ и плоскостью (DСС₁) равен углу AC₁D. По условию tgے AC₁D =√2/4. Из соотношений в прямоугольном треугольнике AC₁D, tgے AC₁D =AD/DC₁, по условию AD=3, значит, DC₁=AD/ tgے AC₁D =3/(√2/4)=12/√2=6√2.

Угол между диагональю и плоскостью основания равен углу C₁AC (СС₁ – перпендикуляр к плоскости (ABC), AC₁ – наклонная, AC – ее проекция на плоскость (ABC)). tgے C₁AC = СС₁/ AC

AC находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ADC. AC=5. СС₁ находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника СС₁D. СС₁=2√14

Значит, tgے C₁AC = 2√14/5

Ответ. 2

A15. Теорема Виета

Задание. Пусть x₁ и x₂ – корни уравнения 0,1x²-1,5x+0,5=0. Найдите значение выражения 

Варианты ответов.

1. 2/3;
2. -2/3;
3. 6;
4. -6;
5. 1/3

Теория. Обобщенная теорема Виета: Сумма корней квадратного уравнения ax²+bx+c=0 равна –b/a, в произведение корней c/a.

Анализ. Вообще, в средней школе изучаются только действительные числа и пользоваться обобщенной теоремой Виета можно только после того, как убедились, что дискриминант квадратного уравнения положительный (в случае, когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет два одинаковых корня и применение этой теоремы не всегда корректно, исходя из задания, учтена ли там кратность корней). Однако в нашем случае, можно не проверять, положителен ли дискриминант, так как в самом условии утверждается, что x₁ и x₂ – корни уравнения 0,1x²-1,5x+0,5=0. Мы понимаем это, как то, что корни (действительные) у уравнения существуют.

Решение. Применяем обобщенную теорему Виета: 

Ответ. 5

A14. Задача на совместную работу

Задание. Два ризографа, работая вместе, выполнили работу за 48 мин. Первый, работая один, мог бы выполнить работу за a часов. Укажите формулу для определения времени t (в часах), за которое бы выполнил всю работу второй ризограф, работая один.

Варианты ответов.

Теория. При решении задач на совместную работу применяют формулу: A=p∙t, где A – объем работы, t – время, p – производительность (количество работы, выполненной за единицу времени). Причем обычно объем работы берется за 1 (если не сказано иное). Общая производительность равна сумме производительностей каждого рабочего.

Анализ. Обращаем внимания, что время в условии указано в минутах, а в задаче спрашивают время в часах, поэтому сразу переводим 48 мин = 48/60 ч = 4/5 ч.

Решение. Пусть второй рабочий, работая один, может выполнить работу за x часов.

Занесем данные в таблицу:

Составляем уравнение, откуда выражаем неизвестную величину x:

Ответ. 4

A13. Логарифмы

Задание. Расположите числа log₂16, log₅33, 1+log₃12 в порядке возрастания.
Варианты ответов.

1)    log₂16, log₅33, 1+log₃12;

2)    1+log₃12; log₅33, log₂16;

3)    log₅33, log₂16, 1+log₃12;

4)    log₅33, 1+log₃12, log₂16;
5)    1+log₃12, log₂16, log₅33.

Теория. Здесь

Решение. Вычислим значения логарифмов или оценим те, значения которых не являются целым числом:

log₂16=4,

log₅25<log₅33<log₅125, т.е. 2<log₅33<3

log₃9<log₃12< log₃27, т.е. 2< log₃12<3, значит 3<1+ log₃12<4

Теперь очевидно, что в порядке возрастания нужно записать:

log₅33, 1+log₃12, log₂16

Ответ. 4

A12. Последовательность

Задание. Найдите сумму первых пяти членов последовательности (a_n), заданной формулой n-го члена 

Варианты ответов.

1. -7;
2. 3;
3. -1;
4. 6;
5. 7.

Анализ. Для нахождения любого члена последовательности, заданной формулой n-го члена, нужно подставить вместо n его номер

Решение.

Их сумма: 3+(-1)+3+(-1)+3=7

Ответ. 5

A11. Прямоугольный треугольник.

Задание. В прямоугольном треугольнике ABC, CK – высота, проведенная к гипотенузе AB, AK=7, BK=28. Найдите синус угла BAC.

Варианты ответов.

Теория. здесь

Решение.

 Воспользуемся формулой CK²=AK∙KB

Откуда CK²=7∙28, CK=14

Теперь из прямоугольного треугольника ACK зная катеты CK=14 и AK=7 по теореме Пифагора найдем гипотенузу AC:

AC²=CK²+AK²=142+72=245 откуда AC=7√5. Так как синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то sin BAC = CK/AC = 14/7√5=2/√5=2√5/5. 

Ответ. 1

A10. Делители числа.

Задание. Найдите сумму всех общих натуральных делителей чисел 42, 56, 84.
Варианты ответов.

1. 23;
2. 9;
3. 24;
4. 26;
5. 10.

Теория. здесь

Анализ. Не путать с понятием «наибольший общий делитель». Общим делителем называется число, на которое делятся все числа, а наибольший общий делитель – наибольшее из таких чисел, на которые делятся все числа.

Так же не путать с разложением на линейные множители. 

Решение. Здесь мы будем раскладывать на простые множители, а затем искать общие. Раскладываем числа на простые множители

42=2∙3∙7;

56=2∙2∙2∙7;

84=2∙2∙3∙7

Общие делители: 2, 7, 14 и не забываем, что 1 является делителем любого числа, поэтому он тоже общий!

1+2+7+14=24.

Ответ.  3

A8. Задача на графики линейного движения

Задание. Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Через 16 минут вслед за первым велосипедистом выехал третий велосипедист. На рисунке приведены графики движения всех велосипедистов. Определите, сколько минут находился в пути третий велосипедист, к тому моменту, когда первый и второй встретились. 

Варианты ответов.

1. 12;
2. 28;
3. 15;
4. 30;
5. 14.

Анализ. Обращаем внимание, что вопрос задачи в минутах, а график показывает зависимость расстояния от времени, которое выражено в часах.

Решение. Работаем с ценой деления. 1 час составляют 12 клеток, значит одна клетка равна 1/12 часа или 5 минутам.  По графику определяем, что первый и второй велосипедисты встретились через 6 клеток то есть через 6∙5=30 минут после их начала движения. Третий же велосипедист начал движение через 16 минут после начала движения первого и второго велосипедистов, то есть на момент их встречи находился в пути 30-16=14 минут. 

При решении задачи многие тестируемые решали все верно до нахождения времени встречи первого и второго велосипедиста, а затем отнимали от 30 минут три клетки, то есть 3∙5=15 минут. Присмотрись, по рисунку время начала третьего велосипедиста не ровно три клетки, а немного сдвинуто вправо, к тому же в условии сказано, через сколько минут после начала движения первого, третий выехал вслед за ним.

Ответ. 5