A15. Теорема Виета.

Задание. Корни x₁ и x₂ уравнения x²+px+q=0 удовлетворяют условиям: x₁+x₂=3, x₁²+x₂²=5. Найдите произведение чисел p и q.

Варианты ответов.

1. -3;
2. 6;
3. 5;
4. -15;
5. -6.

Анализ. Так как коэффициент перед x² (старший) равен 1, то квадратное уравнение приведенное и можно воспользоваться теоремой Виета для приведенного квадратоного уравнения (а не обобщенной).

Теория. Теорема Виета для приведенного (x²+px+q=0) квадратного уравнения: сумма корней уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, в произведение корней – свободному члену.

Решение. 

Получаем, что x₁+x₂=-p, а так как x₁+x₂=3, то p=-3.

Далее по условию x₁²+x₂²=5.

Выделяем полный квадрат (подробнее о выделении полного квадрата): x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂=(x₁+x₂)²-2x₁x₂ =
3²-2x₁x₂=9-2x₁x₂=5

9-2x₁x₂=5

-2x₁x₂=5-9

-2x₁x₂=-4

2x₁x₂=4

x₁x₂=2

Значит, произведение корней равно 2, то есть свободный член (q) равен 2.

 Получаем, p=-3, q=2. p∙q=-3∙2=-6.

Ответ. 5