Страницы

воскресенье, 7 апреля 2019 г.

A15. Теорема Виета.

Задание. Корни x1 и x2 уравнения x2+px+q=0 удовлетворяют условиям: x1+x2=3, x12+x22=5. Найдите произведение чисел p и q.
Варианты ответов.

  1. -3;
  2. 6;
  3. 5;
  4. -15;
  5. -6.

Анализ. Так как коэффициент перед x2 (старший) равен 1, то квадратное уравнение приведенное и можно воспользоваться теоремой Виета для приведенного квадратоного уравнения (а не обобщенной).
Теория. Теорема Виета для приведенного (x2+px+q=0) квадратного уравнения: сумма корней уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, в произведение корней – свободному члену.
Решение. 
Получаем, что x1+x2=-p, а так как x1+x2=3, то p=-3.
Далее по условию x12+x22=5.
Выделяем полный квадрат (подробнее о выделении полного квадрата): x12+x22=x12+x22+2x1x2-2x1x2=(x1+x2)2-2x1x2 =
32-2x1x2=9-2x1x2=5
9-2x1x2=5
-2x1x2=5-9
-2x1x2=-4
2x1x2=4
x1x2=2

Значит, произведение корней равно 2, то есть свободный член (q) равен 2.
 Получаем, p=-3, q=2. pq=-32=-6.
Ответ. 5

Комментариев нет:

Отправить комментарий