A8. Текстовая задача на составление уравнения и делимость чисел.

 Задание. В коробки упакованы пачки с пряниками. Количество пачек в коробке равно количеству пряников в каждой пачке. Среди чисел 140, 207, 302, 196, 153 выберите то, которое может выражать количество пряников в коробке.

Варианты ответов:

1)    140;

2)    207;

3)    302;

4)    196;

5)    153.

Решение.

Пусть x – количество пряников в пачке, оно же равно количеству пачек в коробке. По смыслу задачи x может принимать только натуральные значения. Для того, чтобы найти количество пряников в коробке, нужно количество пряников в пачке умножить на количество пачек в коробке, то есть получим, что в коробке x² пряников. Т.к. x – натуральное число, то его квадрат должен быть также натуральным числом. Квадрат натурального числа среди предложенных это 196 (196=14²).

Ответ. 4

A7. Параллельность прямых, равнобедренный треугольник.

Задание. Прямые a и b параллельны, AB=AC, ےBAC=116°. (См. рис). Найдите градусную меру угла 1.

Варианты ответов:

1)    58°;

2)    32°;

3)    26°;

4)    64°;

5)    60°.

Решение

Треугольник ABC – равнобедренный, т.к. AC=AB по условию, BC – основание. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, а сумма углов любого треугольника равна 180°. Поэтому ےACB=ےABC=(180°-116°):2=32°.

Рассмотри параллельные прямые a и b и секущую BC. ےABC=ے1 как внутренние накрест лежащие. Значит, ے1=32°

Ответ. 2

A6. Вычислительный пример

 Задание Найдите значение выражения

Варианты ответов:

1)    -17,5;

2)    -9,5;

3)    -37,75;

4)    2,5;

5)    -62,5.

Анализ.

Вычислительный пример, который решаем обычным способом, не ищем никаких «ловушек»

Решение

Ответ. 1

A5. Числовая прямая

Задание. Точка F на координатной прямой расположена между точками A(3) и B(15). Определите ее координату, если известно, что AF:FB=5:1.

Варианты ответов:

1)    7;

2)    9;

3)    14;

4)    12;

5)    13.

Анализ

Для наглядности изобразим графически:

Для нахождения координаты точки найдем длину отрезка AB, разделим ее на 5+1=6 равных частей, найдем длину одной части, которая будет равняться длине отрезка FB и затем найдем координату точки F.

Решение

Длина отрезка FB=|15-3|=12. Длина одной части 12:6=2, т.е. длина отрезка FB=2, тока координата точки F 15-2=13.

Ответ. 5

A4. Сравнение десятичных дробей

Задание. Определите, какое из значений x, равных 1,61; 1,62; 1,7; 1,6; 1,64 НЕ является решением неравенства 1,6≤x≤1,64.

Варианты ответов:

1)    1,61;

2)    1,62;

3)    1,7;

4)    1,6;

5)    1,64.

Теория

Сравнение десятичных дробей происходит по следующему правилу: та дробь больше, целая часть которой больше. Если целые части равны, то сравнивают по 1 цифре после запятой до тех пор, пока они не станут различны. Если цифры после запятой в записи числа закончились, надо понимать, что по окончании десятичной записи числа после последней цифры до бесконечности стоят цифры 0, которые в записи не пишут.

Решение

Итак, запишем все имеющиеся числа с двумя цифрами после запятой: 1,6=1,60; 1,7=1,70. Также нужно понимать, что знак ≤ означает, что концы промежутка являются решением неравенства. То есть решением данного двойного неравенства являются все числа, от 1,60 до 1,64, включая границы. Тогда не является решением число 1,70=1,7.

Ответ. 3

A3. Стереометрические фигуры

 Задание. SABC – треугольная пирамида, основанием которой является равнобедренный треугольник ABC. (ےBAC=ےBCA). Среди отрезков SA, SK, CN, AM, BK укажите отрезок, который является медианой основания ABC пирамиды 

Варианты ответов:

1)    SA;

2)    SK;

3)    CN;

4)    AM;

5)    BK.

Решение

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник ABC, у которого AC – основание (т.к. углы при основании равнобедренного треугольника равны). На чертеже показаны высоты этого треугольника, однако, только высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является его медианой и биссектрисой. Значит, высота BK является медианой основания.

Ответ. 5

A2. Углы на единичной окружности

Задание. Укажите номера углов, которые оканчиваются во второй четверти: 

1) 528°;   2) 362°;   3) 43°;   4) 725°;   5) 154°

Варианты ответов

1)    1, 2;

2)    2, 4;

3)    3, 4;

4)    1, 5;

5)    3, 5.

Анализ.

Углы, больше, чем 90°, но меньше чем 180° оканчиваются во второй четверти. Если угол выходит за пределы первой окружности, то представляем его в виде α=360°∙n+β, затем отбрасываем 360°∙n и на единичной окружности изображения углов α и β будут совпадать.

Решение

1)    528°=360°∙1+168° - угол II четверти

2)    362°=360°∙1+2° - угол I четверти

3)    43° - угол I четверти

4)    725°=360°∙2+5° - угол I четверти

5)    154° - угол II четверти

Ответ: 4

А1. Свойство графика функции, проходящего через точку

 Задание

Теория  тут

Анализ Если график функции проходит через точку с указанными координатами (точка принадлежит графику функции), то при подстановке координат в уравнение, задающее функцию, получаем верное числовое равенство

Решение

Ответ. 3

Числовые промежутки на числовой прямой

 Прямая, на которой выбрано начало отсчета, единичный отрезок и показано направление возрастания, называется числовой прямой. На числовой прямой чем больше число, тем правее оно находится.

Числовой промежуток  (a; b) включает в себя все числа, за исключением самих чисел  a и b  , которые больше a  , но меньше b

Числовой промежуток [a; b] включает в себя все числа, включая  и числа a и b, которые больше a, но меньше b

Числовой промежуток (-∞; a) включает в себя все числа, за исключением числа a  , которые меньше a 

Числовой промежуток [a; +∞) включает в себя все числа, которые больше a, и само число a

Числовой промежуток (-∞; a]   включает в себя все числа, которые меньше a, а также само число a