Самой сложной темой для объяснения для меня, как репетитора, являются текстовые задачи. Не потому, что я их не люблю - напротив, это моя самая любимая тема. Однако невозможно за 1 (2, 3 и даже 4 урока) объяснить и научить решать текстовые задачи. База мышления закладывается на протяжении обучения в начальной школе. На каждом уроке математики обязательным является решение нескольких задач. С 7 класса задачи становятся эпизодическим элементом урока (что очень зря) и к 11 классу все навыки можно растерять. Именно поэтому я приступила к разработке материалов, содержащих огромное количество текстовых задач и каждый урок буду начинать с пары-тройки задачек.
Для начала рассмотрим несколько задач и поймем, зачем вводят переменную при решении задач.
Итак, задача 1.
1.
В мотке было некоторое количество метров
проволоки. После того, как отрезали 19 м, осталось 34 м. Сколько метров
проволоки было в мотке?
При решении задачи ученик очень быстро воображает, что ее легко начать решать с конца. Так как мы знаем, что после того, как от мотка отрезали 19 м, в нем осталось 34 м, то для того, чтобы найти, сколько метров было изначально, нужно совершить обратное действие, то есть к остатку прибавить отрезанное количество проволоки:
19+34=53 (м) - было в мотке изначально.
Однако "обратные" действия мы совершаем и при решении уравнения, поэтому вполне обоснованно можем заменить неизвестную величину на x и рассуждать следующим образом: пусть изначально в мотке было x м проволоки, затем от нее отрезали 19, значит осталось (x-19) м, что по условию задачи составляет 34 м. Составим уравнение:
x-19=34
x=34+19
x=53
Согласна, при решении этой задачи введя переменную, мы не получили особого преимущества. Однако рассмотрим еще одну задачу:
Петя задумал число, вычел это число из числа 323
и полученную разность разделил на 11. В результате получилось 25. Какое число
задумал Петя?
При решении с конца, решение будет выглядеть следующим образом:
1) 25*11=275 - разность, полученная при вычитании задуманного числа из 323
2) 323-275=48 - задуманное число.
А вот тут еще попробуй пойми, почему разность надо вычитать из 323, ведь кажется, что действие, обратное вычитанию - это сложение! Но все станет на свои места, когда мы будем решать задачу через уравнение.
Обозначим задуманное Петей число за x, тогда после того, как Петя вычел задуманное число из 323, он получил разность (323-x), после того, как разделил ее на 11, получил (323-x):11, что по условию задачи составляет 25. Составим уравнение:
(323-x):11=25
323-x=25*11
323-x=275
x=323-275
x=48
Мне кажется, это гораздо проще.
А вот задачка, которую я рекомендую решать только с помощью уравнений:
В двух мешка 78 кг крупы. В первом мешке на 12
кг меньше, чем во втором. Сколько килограммов крупы в каждом мешке?
Как только не изощряются учителя, пытаясь объяснить решение без уравнения. И допускают, что в двух мешках одинаково, и вводя графическое условие: показывают задачу на отрезках. Зачем? Если отрезок - это и есть "x"? Зачем еще больше запутывать учеников? Давайте просто признаем, что в 5 классе они уже достаточно взрослые, чтобы понять, как решать такие задачи через неизвестную.
Итак, пусть в первом мешке x кг муки, тогда во втором, исходя из условия задачи, на 12 кг больше, а значит, (x+12) кг. Ведь чтобы найти величину, на 12 большую чем некоторая известная величина, мы должны к известной величине прибавить 12. Вот мы и предположили, что масса муки в первом мешке известна, и чтобы не придумывать и не подбирать какое-то число, обозначили его за x. Далее, чтобы найти массу муки в двух мешках (логично же!) надо сложить массу муки в первом мешке (x) и во втором (x+12) и получим общую массу (x+x+12) кг, что по условию задачи составляет 78 кг. Составим уравнение:
x+x+12=78
2x=78-12
2x=66
x=66:2
x=33
Значит, в первом мешке 33 кг муки, а во втором 33+12=45 кг.
И совсем запутанная задача:
Мать старше сына на 20 лет, а сын моложе матери
в 5 раз. Сколько лет матери и сколько сыну?
Обозначим возраст сына за x лет - обычно принято меньшую величину брать за x. Просто всегда проще сложить, чем отнять и умножить, чем разделить, а при выражении большей нам и придется умножать или складывать. Далее воспользуемся тем, что по условию известно, что сын моложе матери в 5 раз, то есть мать старше сына в 5 раз, а значит, возраст матери в 5 раз больше возраста сына, то есть матери 5x лет. Далее для нахождения неизвестной надо составить уравнение, то есть уравнять две величины: возраст сына и возраст матери. Конечно, они не равны, но нам сказано, что мать старше сына на 20 лет, а значит, если к возрасту сына прибавить 20, то получим возраст матери (можно было от возраста матери, который больше, отнять 20 и получить возраст сына), то есть: x(возраст сына)+20 = 5x (возраст матери). Составим уравнение:
x+20=5x
перепишем уравнение вот в таком виде:
5x=x+20
5x-x=20
4x=20
x=20:4
x=5
Значит, сыну 5 лет, а матери 5*5=25.
А как можно было решить эту задачу иначе?
Ну и конечно, для отработки навыков в решении задач с помощью уравнений, необходимо много практики. Поэтому предлагаю несколько задач, а уже больше задач вы можете получить, записавшись ко мне на занятие.
1.
Аня собрала в букет 3 тюльпана, 9
гвоздик и 6 хризантем. На сколько меньше в букете было тюльпанов, чем
хризантем? Во сколько раз больше в букете гвоздик, чем тюльпанов?
1.
У Пети в коллекции 278 марок, а у его
сестры Наташи – на 96 марок больше. Сколько марок у брата и сестры вместе?
1.
В типографии было 8000 кг бумаги. В
первый месяц израсходовали 2700 кг бумаги, во второй – на 240 кг меньше.
Сколько килограммов бумаги осталось в типографии?
1.
В двух коробках было 16 карандашей. Во
второй коробке карандашей было в 3 раза больше, чем в первой. Сколько
карандашей было в каждой коробке?
Володя
бросил мяч на 20 м ближе, чем Петя. На сколько метров бросил мяч Петя, если он
бросил его на расстояние, в 3 раза большее, чем Володя?
Магазин
продал за день 18 кофейных и чайных сервизов, причем чайных в 2 раза больше,
чем кофейных. Сколько продали чайных сервизов?
Для
детского сада привезли сатина в 6 раз больше, чем хлопка, известно, что хлопка
привезли на 60 м меньше, чем сатина. Сколько метров сатина и хлопка вместе
привезли в детский сад?
