A2. Углы на единичной окружности

Задание. Укажите номера углов, которые оканчиваются во второй четверти: 

1) 528°;   2) 362°;   3) 43°;   4) 725°;   5) 154°

Варианты ответов

1)    1, 2;

2)    2, 4;

3)    3, 4;

4)    1, 5;

5)    3, 5.

Анализ.

Углы, больше, чем 90°, но меньше чем 180° оканчиваются во второй четверти. Если угол выходит за пределы первой окружности, то представляем его в виде α=360°∙n+β, затем отбрасываем 360°∙n и на единичной окружности изображения углов α и β будут совпадать.

Решение

1)    528°=360°∙1+168° - угол II четверти

2)    362°=360°∙1+2° - угол I четверти

3)    43° - угол I четверти

4)    725°=360°∙2+5° - угол I четверти

5)    154° - угол II четверти

Ответ: 4

A2. Углы треугольника

Задание. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC через вершину B проведена прямая BM, параллельная стороне AC треугольника (см. рисунок). Если градусная мера внешнего угла при вершине A треугольника ABC равна 133°, то градусная мера угла MBC равна. 

Варианты ответов:

1)    65°;

2)    86°;

3)    63°;

4)    43°;

5)    47°.

Теория.

Равнобедренным называется треугольник, две стороны которого равны. Равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основание. Углы при основании равнобедренного треугольника, равны. Сумма углов любого треугольника равна 180°.

При пересечении двух параллельных прямых третьей (секущей), образуется 8 углов:

  ے3 и ے6; ے4 и ے5 – внутренние накрест лежащие (равны)

ے3 и ے5; ے4 и ے6 – внутренние односторонние (в сумме дают 180°)

ے1 и ے5; ے2 и ے6; ے3 и ے7; ے4 и ے8 – соответственные (равны)

Внешний угол треугольника – угол, смежный с внутренним. Смежные углы – это углы, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол. Сумма смежных углов 180°.

Решение.

Так как  градусная мера внешнего угла при вершине A треугольника ABC равна 133°, то по определению внешнего угла и свойству смежных углов, внутренний угол, при вершине A равен 180°-133°=47°. Тогда угол C так же равен 47°, как угол, при основании равнобедренного треугольника. Углы MBC и BCA равны как накрест лежащие при параллельных AC, BM и секущей BC. Получаем, что угол MBC равен 47°.

Ответ. 5

А4, свойство измерения углов

Задание 

Анализ. Задача, аналогичная А3. Обычная геометрическая задача, для решения которой надо знать свойство измерение углов, величину развернутого угла, а так как далее у нас возникнет две неизвестные, но нам задана связь между этими неизвестными, введем x. Внимательно давайте ответ на вопрос задачи - указывайте то, что спрашивают: ∠AOB!!!

Теория. Свойство измерения углов:

Если из вершины угла проведен луч, который разбивает угол на два угла, то градусная мера (большого) угла равна сумме градусных мер углов, на которые луч разбивает этот угол.

Градусная мера развернутого угла 180°

Решение. ∠AOM=∠AOB+∠BOC+∠COM

Пусть ∠COM=x, тогда ∠AOB=x+20, значит

180=(x+20)+98+x;

180=x+20+98+x;

180-20-98=2x;

62=2x;

x=62:2;

x=31

Значит, ∠COM=31°, тогда ∠AOB=31°+20°=51°.

Ответ. 4