A15. Теорема Виета.

Задание. Корни x₁ и x₂ уравнения x²+px+q=0 удовлетворяют условиям: x₁+x₂=3, x₁²+x₂²=5. Найдите произведение чисел p и q.

Варианты ответов.

1. -3;
2. 6;
3. 5;
4. -15;
5. -6.

Анализ. Так как коэффициент перед x² (старший) равен 1, то квадратное уравнение приведенное и можно воспользоваться теоремой Виета для приведенного квадратоного уравнения (а не обобщенной).

Теория. Теорема Виета для приведенного (x²+px+q=0) квадратного уравнения: сумма корней уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, в произведение корней – свободному члену.

Решение. 

Получаем, что x₁+x₂=-p, а так как x₁+x₂=3, то p=-3.

Далее по условию x₁²+x₂²=5.

Выделяем полный квадрат (подробнее о выделении полного квадрата): x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂=(x₁+x₂)²-2x₁x₂ =
3²-2x₁x₂=9-2x₁x₂=5

9-2x₁x₂=5

-2x₁x₂=5-9

-2x₁x₂=-4

2x₁x₂=4

x₁x₂=2

Значит, произведение корней равно 2, то есть свободный член (q) равен 2.

 Получаем, p=-3, q=2. p∙q=-3∙2=-6.

Ответ. 5

A14. Составление выражения, проценты

Задание. На клетчатой бумаге с клетками размером a см x a см изображена фигура. Известно, что площадь этой фигуры составляет 25% площади некоторой трапеции. Составьте выражение для нахождения площади трапеции в квадратных сантиметрах. 

 Варианты ответов.

1)    85a² см²;

2)    425a² см²;

3)    4,25a² см²;

4)    68a² см²;

5)    25a² см².

Решение.

Так как размер клетки a см x a см, то площадь одной клетки a²см², Площадь изображенной фигуры (считаем клетки) 17 клеток, то есть 17a²см². По условию площадь этой фигуры составляет 25% площади некоторой трапеции, значит, если принять площадь трапеции за 100% (так как то, с чем сравнивают, всегда принимаем за 100%), получим:

Составляем пропорцию и выражаем из нее x:

Ответ. 4

A13. Извлечение корня из суммы (разности)

Задание. Решите уравнение

 Варианты ответов.

1. 9;
2. 10;
3. 14;
4. 25;
5. 5.

Анализ. Правая часть уравнения содержит разность двух корней, для нахождения значения которых необходимо под корнем выделить полный квадрат суммы или разности.

Теория. обязательно к изучению!
Решение.

Далее решаем уравнение

x-5=4;

x=5+4;

x=9.

Ответ. 1.

A12. Прямоугольный треугольник

Задание. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 30, а косинус одного из острых углов равен 0,6. Найдите периметр треугольника.

Варианты ответов.

1. 50;
2. 54;
3. 72;
4. 60;
5. 36.

Анализ. Задача на соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике.

Теория. Периметр фигуры – это сумма длин всех ее сторон. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Не лишней будет теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Больше теории

Решение. Пусть cos B = 0,6, тогда для угла B катет CB будет прилежащим, а катет AC – противолежащим. По определению косинуса: cos B = CB/AB, откуда CB=AB∙cos B, значит, CB=30∙0,6=18. Катет AC найдем по теореме Пифагора (самый простой способ): AC=√(30²-18²)=24.

Периметр: P=AB+BC+AC=30+24+18=72. 

Ответ 3

A11. Координатная плоскость

Задание. Расстояние между точками A(-3; 43) и B(a; 43) координатной плоскости равно 24. Найдите сумму координат точки B, если a<0.
Варианты ответов.

1. 27;
2. 16;
3. 21;
4. 43;
5. 64.

Анализ. Внимательно: в ответ просят указать сумму координат точки!

Решение. Замечаем, что координаты y у точек A и B равны, это означает, что обе точки лежат на прямой y=43, то есть на прямой, параллельной ось абсцисс (Ox). Поэтому вместо рассмотрения координатной плоскости, можем рассмотреть координатную прямую y=43.

По условию расстояние между точками A(-3; 43) и B(a; 43) равно 24. Существует две точки, лежащие на прямой y=43, расстояние от которых до точки A равно 24:

Это точки (-3+24; 43) и (-3-24; 43) то есть (21; 43) и (-27; 43) но по условию абсцисса искомой точки должна быть меньше нуля, значит, B(-27; 43). Сумма координат точки равна -27+43=16.

Ответ. 2

A10. Арифметическая прогрессия

Задание. Если сумма n первых членов арифметической прогрессии выражается формулой S_n=3n²-n, то второй член прогрессии равен:
Варианты ответов.

1. 12;
2. 10;
3. 2;
4. 6;
5. 8.

Анализ. Необходимо понимать, что такое сумма n первых членов арифметической прогрессии, что такое n-ый член прогрессии и что означат n в записи какой-либо формулы.

Теория. n – это порядковый номер, при подстановки вместо n в формулу какого-либо натурального числа, можно получить числовое значение. Например, при подстановки вместо n в формулу S_n=3n²-n , например, числа 5, получим, чему равна сумма первых пяти членов данной прогрессии: S₅ =3∙(5)²-5=70, то есть a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=70, где a₁ – первый член прогрессии (число, стоящее на первом месте), a₂ – второй член и т.д. 

Решение. 

S₁=3∙(1)²-1=2=a₁

S₂=3∙(2)²-2=10=a₁+a₂

Теперь очевидно, что a₂=S₂-a₁=10-2=8

Ответ. 5

A9. Графики зависимости расстояния от времени, движение по и против течения

Задание. От пристани одновременно по течению реки отходит плот и против течения реки отправляется катер. На рисунке приведены графики их движения. Определите собственную скорость катера (в км/ч). 

Варианты ответов.

1. 25,5;
2. 22,5;
3. 24;
4. 26;
5. 23,5.

Анализ. Задача на умение «читать» графики, определение цены деления, и знания формул, связанных с движением по и против течения.

Теория. v_плота= v_{течения}, v_{против т}= v_собств-v_{течения}, v=S/t

Решение. Ось Ox задает время (в часах), единичный отрезок 12 клеток, значит, плот находился в пути 10/12 часа (в минуты не переводим, так как вопрос задачи в км/ч), а катер находился в пути 4/12 часа.

Ось Oy задает расстояние (в км), единичный отрезок 2 клетки, значит, плот проделал расстояние 1,25 км (2 клетки, равные 1 км и еще ½ клетки, равные 0,25 км), а катер – 8 км.

Получается, что катер двигался со скоростью v=S/t=8/(4/12)=24 км/ч (скорость против течения), а плот двигался со скоростью v=S/t=1,25/(10/12)=1,5 км/ч (скорость течения).

Так как v_{против т}= v_собств-v_{течения}, выражаем v_собств=v_{течения}+ v_{против т}=24+1,5=25,5.

Ответ. 1

A8. Преобразование алгебраических выражений

Задание. Разложите на множители выражение 196-(3-a)².
Варианты ответов.

1)    (√187-a)(√187+a);

2)    (11-a)(17-a);

3)    (11-a)(17+a);

4)    (11+a)(17-a);

5)    (11+a)(17+a).

Анализ. Замечаем, что 196=14²
Теория. a²-b²=(a-b)(a+b)
Решение. 
196-(3-a)²=14²-(3-a)²=(14-(3-a))(14+(3-a))=(14-3+a)(14+3-a)=(11+a)(17-a).

Однако, как и при решении A7 РТ19 (2 этап) ответ в данном случае можно «подобрать» не применяя формулы сокращенного умножения.

Подставим в условие любое значение a, например, a=3.

При a=3 196-(3-a)²=196-(3-3)²=196.

Теперь подставляем это же значение a в ответы:

При a=3 (√187-a)(√187+a)= (√187-a)(√187+a)=187-9=178 (не подходит),

При a=3 (11-a)(17-a)=(11-3)(17-3)=8∙14=112 (не подходит),

При a=3 (11-a)(17+a)=(11-3)(17+3)=8∙20=160 (не подходит),

При a=3 (11+a)(17-a)=(11+3)(17-3)=14∙14=196 (может быть верным ответом, но нужно проверить остальные).

При a=3 (11+a)(17+a)=(11+3)(17+3)=14∙20=280 (не подходит).

Так как только один вариант ответов дает при подстановке тот же ответ, что и условие, то это – верное решение.

Ответ 4.

A7. Свойства касательной

Задание. Из точки A к окружности с центром O проведены касательная AB и отрезок AO. Точки B и M принадлежат окружности (см. рисунок). Известно, что AB=4√15, AM-MO=3. Найдите длину радиуса окружности.  

Варианты ответов.

1. 11;
2. 4;
3. 7;
4. 3;
5. 15.

Анализ. Так как по условию AM-MO=3, что можно перефразировать как «AM больше MO на 3. Две величины неизвестны, однако, связаны соотношением, поэтому удобно меньшую из них взять за x, то есть MO(радиус)=x, тогда AM=x+3.

Теория. Радиус перпендикулярен касательной в точке касания.

Решение. Так как O – центр окружности, а точка B принадлежит окружности, то проведем радиус OB и рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

По теореме Пифагора:

AO²=AB²+OB².

AO=AM+MO=x+(x+3)=2x+3;

OB=OM=x (как радиусы);

AB=4√15 (по условию).

Подставляем в уравнение:

(2x+3)²=(4√15)²+x²;

4x²+12x+9=240+x²;

3x²+12x-231=0 |:3;

x²+4x-77=0

Откуда x=-11 (не подходит) или x=7.

Значит, MO(радиус)=7.

Ответ. 3

A6. График обратной зависимости.

Задание. Для графика уравнения xy=16 укажите номер верного утверждения:
Варианты ответов.

1)    Графиком уравнения является парабола;

2)    График уравнения пересекает прямую y=-16;

3)    Графику уравнения принадлежит точка A(-5; -3);

4)    График уравнения проходит через начало координат;

5)    График уравнения пересекает ось Ox в двух точках.

Анализ. Для построения графика уравнения (схематичного) нужно выразить y: y=16/x. 

Теория. Перед нами обратная пропорциональность, графиком функции является гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях, так как k=16>0. 

Решение. Утверждения 1, 4 и 5 точно не подходят. Утверждения 3 проверяем подстановкой координат точки в уравнение: -5∙(-3)≠16, значит, утверждение 3 также не подходит и единственным верным утверждением является утверждение 2. Действительно, область значений у функции y=k/x (-∞; 0)Ս(0; +∞);, значит прямую y=-16 она пересекает (не будет только пересекать прямую y=0, то есть ось Ox.

Ответ. 2