B5. Правильный многоугольник

Задание. Длина стороны правильного n-угольника A₁A₂…A_n равна 12. Угол A₁OA₂=45°, где O – центр описанной около многоугольника окружности. Найдите периметр многоугольника.

Теория

Угол правильного n-угольника находим по формуле

Решение

Узнав количество сторон (n), найдем периметр. Для нахождения количества сторон, найдем угол n-угольника. По условию, Угол A₁OA₂=45°, а поскольку, Δ A₁OA₂ – равноберенный, то угол при основании равен (180-45)/2=135/2, тогда каждый внутренний угол многоугольника равен 135°. Теперь, подставив в формулу, найдем количество сторон этого многоугольника

Значит, количество сторон 8, тогда периметр равен 8∙12=96

Ответ. 96