B4. Формулы тригонометрии

Задание. Найдите значение выражения 63∙sin² (a-b), если sin a = √6/6; cos b = √30/6; 0<a<π/2; 3π/2<b<2π.

Теория. sin (a-b)= sin a∙cos b – cos a∙sin b

Анализ. Будем понимать, что sin² (a-b) = (sin (a-b))² 

Также особе внимание на знаки, так как в условии неспроста даны четверти - возможно, где-то нужно будет поставить модуль и не забыть его правильно раскрыть!

Решение. Из основного тригонометрического тождества sin² a+ cos² a = 1 находим:

cos² a= 1 - sin² a = 1 – 6/36 = 30/36 ↔ |cos a| = √30/6, с учетом 0<a<π/2, угол a находится в первой четверти, где cos a>0, значит cos a=√30/6

sin² b= 1 - cos² b = 1 – 30/36 = 6/36 ↔ |sin b| = √6/6, с учетом 3π/2<b<2π, угол b находится в четвертой четверти, где sin b <0, значит sin b =-√6/6

sin² (a-b) = (sin (a-b))² = (sin a∙cos b – cos a∙sin b)²=

(√6/6∙√30/6 - (-√6/6)∙√30/6)²=(2√180/36)²=(√180/18)²=180/324=10/18=5/9

63∙5/9=7∙5=35

Ответ. 35