A18. Сечение

Задание. ABCA₁B₁C₁ – правильная треугольная призма, все ребра которой равны 12. Точки P и K – середины ребер B₁C₁ и AA₁ соответственно, MєA₁B₁, 
B₁M:MA₁ = 2:1. Найдите периметр сечения плоскостью, проходящей через Точки K, M и P.
Варианты ответов.








Решение.

Построим сечение

B₁M:MA₁ = 2:1, B₁A₁=12, значит B₁M=8, MA₁=4

Соединяем точки P и M, лежащие в плоскости A₁B₁C_1, так же точки M и K, лежащие в плоскости AA₁B₁, продляем прямую MK до пересечения с прямой AB. Х – их точка пересечения. ∆A₁MK=∆AXK по катету и острому углу (углы равны как вертикальные), значит AX=A₁M=6, значит BX=16. Теперь через точку X проводим прямую, параллельную прямой MP, так как плоскости ABC и A₁B₁C₁ параллельны, а значит и прямые их пересечения с плоскостью сечения параллельны между собой. Пусть эта прямая пересечет прямую BC в некоторой точке Y. Треугольники MPB₁ и XYB подобны (по двум углам) с коэффициентом подобия B₁M:BX=8/16=1/2, а значит PB₁:BY=1/2, BY=2∙PB₁=12, то есть точка Y совпадает с точкой C.

Соединяем точки C и K в плоскости ACC₁ и точки C и P в плоскости BCC₁ и получаем сечение CKMP.

Находим его периметр.

Ответ. 1