A19. Неравенство с модулем

 Задание. Найдите сумму всех целых решений неравенства |x²-3x-13|>x²-3x-13

Варианты ответов:

1)    -9;

2)    9;

3)    0;

4)    -12;

5)    12.

Анализ

Обратим внимание, что выражение под модулем и выражение в правой части – равные многочлены, поэтому проанализируем, при каких a верно неравенство |a|>a. Понятно, что нам нужно рассмотреть случаи, когда a – отрицательное, положительное и равное нулю. Подставляем любые значения a и смотрим, верно ли неравенство:

При a=-1: |-1|>-1 – верно;

При a=0: |0|>0 – неверно.

При a=1: |1|>1 – неверно.

Решение

То есть, неравенство верно, когда под модулем стоит отрицательное выражение, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству
x²-3x-13<0 – квадратное неравенство.

Рассмотрим функцию y= x²-3x-13. График – парабола, ветви направлены вверх, нули: D=9+4∙13=61. Корни находим приблизительно: x₁=(3-7,8)/2=-2,2; x₂=(3+7,8)/2=5,4. Строим схематично график:

Решение неравенства xϵ(-2,2; 5,4). Целые значения переменной -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5. Сумма 3+4+5=12.

Ответ. 5

A17. Квадратные неравенства

 Задание. Укажите номера квадратных неравенств, которые верны при всех значениях x ϵ [1; 3].

1)    2x²-5x-7<0;

2)    2x²-8x+11>0

3)    4x²-16x+11>0;

4)    4x²-12x+9>0;

5)    2x²-8x+9<0.

Варианты ответов:

1)    2, 4;

2)    1, 2;

3)    3, 5;

4)    3, 4;

5)    1, 5.

Теория тут

Решение

Для решения квадратных неравенств используют свойства знакопостоянства соответствующей квадратичной функции. Так как графиком является парабола, то для схематичного построения графика нам необходимо указать направление ветвей (вверх или вниз, зависит от a>0 или a<0) и нули функции. У всех заданных функций ветви парабол направлены вверх. Найдем нули:

Ответ. 2

A13, квадратное неравенство

Задание. Найдите произведение наибольшего отрицательного и наименьшего положительного целых решений неравенства

Варианты ответов:

1. -4;
2. -11;
3. -6;
4. -5;
5. -2.

Теория. здесь

Анализ. Будем внимательны при выборе ответа, так как в задании встречаются понятия целое решение (подробнее о числовых множествах), а так же будем аккуратно выбирать наибольшее отрицательное и наименьшее положительное, помня при этом, что неравенство строгое и граничные точки интервалов в решение входить не будут.

Решение.  Для решения неравенства необходимо определить его лип. Так как в знаменателе переменных нет, а старшая степень переменной - вторая, то это, скорее всего, квадратное неравенство. Однако в этом необходимо убедиться. Перенесем все слагаемые в одну часть:

Приведем к общему знаменателю 12:

Умножим обе части неравенства на 12, для того, чтобы избавиться от знаменателя. Так как умножаем на положительное число, знак неравенства менять не нужно:

Раскроем скобки

Приведем подобные слагаемые:

Рассмотрим функцию 

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз, нули функции:

Изобразим схематично график функции

 Функция отрицательная на промежутке

Теперь внимательно выбираем ответы на задание. Наибольшее отрицательное целое решение это число -3 (так как -2 не входит в промежуток из-за того, что неравенство строгое, а число -1 вообще находится правее числа -2). Наименьшее целое положительное решение - число 2. Произведение этих чисел

-3 • 2 = -6

Ответ. 3