В1, парабола и ее свойство (преобразования графиков функций)

Задание. Функция задана формулой

на множестве действительных чисел R. Для начала каждого предложения А - В выберите его окончание 1 - 5 так, чтобы получилось верное утверждение. Ответ запишите в виде А1Б2В3 (пример)

Способ 1. Можно изучить тему Преобразование графиков функций и схематично изобразить график данной пораболы, которая получится из графика функции 

1) Сдвигом влево относительно оси ОХ на 3 единицы;

2) Симметрией относительно оси ОХ;

3) Сжатием вдоль оси ОУ в 4 раза (никак не повлияет на интересующие нас свойства);

4) Поднятием вверх на 4 единицы вдоль ОУ.

Схематично график будет выглядеть так

Нас интересуют координаты вершины (-3; 4), направление ветвей (вниз) и точки пересечения с осью x: -7 и 1. (функцию приравнять к 0 и найти нули функции)

Теперь выбираем свойства:

А. Множество значений - от минус бесконечности до у вершины (так как ветви направлены вниз) - ответ 2.

Б. Функция убывает на промежутке от х вершины до плюс бесконечности (4)

В. Функция положительна от первого нуля функции до второго (1).

Ответ. А2Б4В1

Способ 2. Можно преобразовать уравнение параболы (раскрыть скобки) и привести его к стандартному виду квадратичной функции.

Нас интересует направление ветвей - вниз, так как старший коэффициент отрицательный.

Координаты вершины:

Абсцисса (х) 

Ордината (у) - подставляем найденное значение абсциссы в функцию:

Нули функции - приравниваем функцию к 0:

Получаем квадратное уравнение, решаем его и находим корни -7 и 1. Значит, то значения нулей функции.

Далее рассуждаем аналогично способу 1.

Ответ: А2Б4В1

Возможно, есть смысл изучить теорию по данной теме

B7 текстовая задача на числа (с использованием свойств НОК и НОД)

И еще одна очень легкая текстовая задача!

Задание. НОК(a, b)•НОД(a, b)=1536. Найдите число a, если оно больше числа b на 40.

Анализ. Это действительно очень легкая задача на составление уравнения, в которой необходимо использовать только одно свойство НОК и НОД чисел, и даже не нужно вспоминать, что это такое :) На то, что нужно составлять уравнение, указывает тот факт, что у нас две неизвестных величины, которые связаны между собой некоторым условием (a больше  b на 40).

Теория. Известно следующее свойство: НОК(a, b)•НОД(a, b)=a•b. больше теории здесь

Решение. Итак, наша задача свелась к следующей: произведение двух чисел равно 1536. Найдите большее из них, если оно больше меньшего на 40.

Пусть x - большее число (целесообразно взять за x именно большее, так как его необходимо найти. Тогда меньшее число x-40. Зная, что их произведение равно 1536, составим уравнение:

Так как в задаче идет речь о понятиях НОК и НОД, вспоминаем, что они относятся только к натуральным числам, значит отрицательный корень отпадает.

За x мы принимали большее число, его и необходимо найти.

Ответ. 64

B3 (текстовая задача на проценты с элементами геометрии и переводом величин)

Задание. Участок леса имеет форму прямоугольника с периметром 8,8 км. Найдите площадь этого участка в гектарах, если его ширина меньше длины на 24%.

Анализ. Перед нами стандартная задача на составление уравнения (показателем этого служит то, что у нас две неизвестных величины, которые связаны между собой), необычной ее делают наличие процентов, с которыми многие из вас умеют работать, и такое "страшное" слово, как гектар.

Теория. Если стороны прямоугольника равны a и b, то его периметр находится по формуле P=2•(a+b), а площадь S=a•b. О переводе единиц измерения

При решении задач на проценты часто составляют таблицу, одна из величин (та, с которой сравнивают) берется за 100, таблица имеет две строки (две величины) и два столбца (численная величина и процентная величина), таблица должна иметь одну неизвестную которую находят из пропорции, которая составляется из таблицы.

Ну и, наконец, 1 га - это квадрат со стороной 100 метров, то есть площадь этого участка равна 100 м • 100 м = 10000 квадратных метров. Значит, в 1 квадратном метре 1/10000 гектара.

(на всякий случай, 1 ар - это квадрат со стороной 10 метров, 1 ар = 100 квадратных метров).

Перевод величин. 8,8 км = 8,8 • 1000 м =8800 м.

Решение. Пусть длина прямоугольника равна x. (Целесообразно взять за x длину, так как далее будем принимать ее за 100%, потому что сравнение по условию идет с длиной). По условию, ширина меньше длины на 24%, а длину мы приняли за 100%, значит ширина 100%-24%=76%. Составляем таблицу, из которой выразим ширину:

Теперь свяжем эти величины, используя то, что периметр прямоугольника известен.

P=2•(a+b)

8800=2•(x+0,76x)

8800=2•1,76x

8800=3,52x

x=8800:3,52

x=2500

значит, длина прямоугольника 2500 м, тогда ширина 2500•0,76=1900 м

Находим площадь: S=a•b=2500•1900=4750000 (квадратных метров)

Переводим в гектары: 4750000 кв. м = 475000•(1/10000)=475 гектара.

Ответ. 475

B11 (текстовая задача на совместную работу)

Условие. Два каменщика различной квалификации выполнили некоторую работу, причем первый проработал 1 час, прежде чем к нему присоединился второй. Если бы сначала второй каменщик проработал 1 час, а затем к нему присоединился первый, то работа была бы закончена на 12 минут позже. Известно, что первый каменщик четвертую часть работы выполняет на 4 часа быстрее, чем второй выполняет третью часть работы. Сколько минут заняло выполнение всей работы.

Теория. В задачах на совместную работу используются понятия объем работы (A) (часто принимается за 1, если в задаче не сказано другое), время, затраченное на выполнение работы (t) и производительность (p) - величина, показывающая, какой объем работы выполнен за 1 час. Эти три величины связаны следующей формулой: 

При совместной работе производительности складываются: общая производительность равна сумме производительностей каждого участника. 

Анализ. Необходимо быть внимательным, так как в условии задачи встречаются величины, в разных единицах измерения (часы и минуты) и ответ в задаче необходимо давать в минутах (а не часах, как привычнее для нас). Предлагаю решать задачу, выражая время в часах, а в конце перевести полученный результат в минуты. 

Перевод единиц. 12 минут = 12・(1/60) ч =(12/60) ч=(1/5) ч

Так же обращаю внимание, на то, что, казалось бы, не понятно, какое время указывать: первого случая, или же второго, которое на 12 минут больше. ВНИМАТЕЛЬНО ЧИТАЕМ УСЛОВИЕ!!! спрашивают, сколько времени заняло выполнение всей работы (а не заняло бы). Первый случай - изъявительное наклонения, второй - сослагательное! вопрос в задаче в изъявительном наклонении, значит речь идет о первом случае.

Решение. Так как по условию задачи каменщики различной квалификации, принимаем производительность первого каменщика за x, второго - за y, а время, затраченное на выполнение всей работы за t. Объем работы берем равный 1.

Так как сначала первый рабочий работал 1 час, с производительностью x, то он выполнил объем работы, равный 1・x, оставшееся время, а им осталось работать (t-1) час (так как общее время приняли равное t), они работали вместе, значит общая производительность составила (x+y) и выполнили объем работы, равный (t-1)(x+y). В результате вся работа оказалась выполнена, т.е. сделали работу, равную 1, значит 1・x+(t-1)(x+y)=1.

Если бы сначала второй каменщик проработал 1 час, а затем к нему присоединился первый, то работа была бы закончена на 12 минут позже. Производительности каменщиков остаются прежние, а время работы становится на 1/5 больше, то есть (t+1/5). Далее идут аналогичные рассуждения: сначала второй рабочий работал 1 час, с производительностью y, то он выполнил объем работы, равный 1・y, оставшееся время, а им осталось работать (t+1/5)-1=t-4/5 часа (так как общее время приняли равное (t+1/5), они работали вместе, значит общая производительность составила (x+y) и выполнили объем работы, равный (t-4/5)(x+y). В результате вся работа оказалась выполнена, т.е. сделали работу, равную 1, значит 

1・y+(t-4/5)(x+y)=1.

Получили систему двух уравнений. Не будем паниковать из-за того, что в ней три неизвестные. Нам не нужно (пока что) находить производительности, просто выразим одну производительность через другую:

Далее смотрим на неиспользованные данные из условия: известно, что первый каменщик четвертую часть работы выполняет на 4 часа быстрее, чем второй выполняет третью часть работы. Четвертая часть работы (так как вся работа 1) - это 1/4. Производительность первого каменщика x, значит он потратит времени: t=A/p=(1/4):x=1/(4x). Третья часть работы (так как вся работа 1) - это 1/3. Производительность второго каменщика y, значит он потратит времени: t=A/p=(1/3):y=1/(3y). Больше времени потратит второй каменщик, значит от большего отнимаем меньшее - получаем разницу (в 4 часа):

Далее подставляем в это уравнение то, что нашли выше: y=(2/3)・x, получаем уравнение с одной неизвестной:

Таким образом, мы нашли производительности каменщиков. Подставляем эти значения в любое (например, первое) уравнение системы, находим время, потраченное на выполнение всей работы:

Не забыли, что полученный результат - в часах! Переводим его в минуты - получаем

 10 ч = 10・60 мин = 600 мин.

Ответ: 600

В прямоугольном треугольнике разность катетов равна 4, а высота, опущенная на гипотенузу, равна 3. Найдите площадь треугольника.

 Анализ. Попытки выразить проекции катетов на гипотенузу через неизвестные и связать эти неизвестные теоремой Пифагора, приводят к сложным иррациональным уравнениям либо рациональным уравнениям четвертой степени. Однако интересным оказывается следующее решение.

Решение. Воспользуемся тем, что площадь прямоугольного треугольника можно найти несколькими способами:

Становится очевидным, что AB・CH=AC・CB.

Учитывая, что дана разность катетов, а так же воспользуемся теоремой Пифагора 

произведем следующие преобразования:

Получили квадратное уравнение относительно неизвестной AB. Решая его, по смыслу задачи подходит AB=8. Далее найденное значение гипотенузы подставляем в формулу площади, откуда находим, что площадь треугольника равна 12.

Ответ: 12

Высота прямоугольного треугольника делит его на треугольники с периметрами 3 и 4. Найдите периметр заданного треугольника.

Способ 1.
Анализ. Очевидно, что

Поэтому используя подобие треугольников, выразим через одну переменную стороны и свяжем их, используя данные значения периметров, а так же теорему Пифагора.

Решение. Так как 

то 

Пусть AH=x, BH=y, CH=h, тогда AC=4-(x+y), CB=3-(y+h).

Учитывая, что 

Из треугольника ACH по теореме Пифагора:

Свяжем теперь три стороны, используя периметр и найдем значение h:

Осталось подставить

Ответ: 5.

Способ 2.

Оказывается, что сумма квадратов периметров двух треугольников, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник, равна квадрату периметра этого треугольника.

Докажем это в общем виде.

Для начала напомню формулу квадрата суммы трех слагаемых:

Рассмотрим треугольники:

Пусть CB=a; AC=b, CH=h, HB=x, тогда AH=c-x. Учитывая, что угол A и угол BCH равны, получаем:

Для удобства в дальнейшем доказательстве я обозначила каждое равенство отдельным цветом. Далее находим сумму квадратов периметров "малых" треугольников:

Теперь, очевидно, для нахождения периметра треугольника необходимо

Ответ: 5.

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C - прямой) проведена высота CH. Найдите площадь треугольника, если косинус угла А равен 7/25, а площадь треугольника ACH равна 9,8.

Способ 1.

Анализ. Идея состоит в том, чтобы ввести переменную, выразить через нее все стороны треугольника ACH, используя соотношения сторон в прямоугольном треугольнике, затем найти эту переменную, используя значение площади.

Далее вычислить оставшиеся элементы треугольника ABC и найти его площадь.

Решение.

Рассмотрим треугольник ACH:

Пусть AH = x, тогда:

По теореме Пифагора:

Исходя из формулы площади треугольника:

Находить x нет смысла, так как в задачи необходимо найти площадь треугольника, а это квадратная величина и неизвестная x будет присутствовать в расчетах также во второй степени. Выразим через х гипотенузу AB треугольника ABC, для этого воспользуемся формулой: 

Находим площадь треугольника ABC:

Ответ: 125

Способ 2

Анализ: идея состоит в том, чтобы найти взаимосвязь между формулами площадей треугольников.

Решение: 

Замечаем, что формулы отличаются одним элементом. Теперь необходимо выразить неизвестный нам элемент, гипотенузу AB через AH. Для этого воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольники (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

Из треугольника ACH:

Из треугольника ABC:

Выражаем AB через AH:

Находим площадь треугольника ABC.

Ответ: 125.

Прямоугольный треугольник (теория)

 Рассмотрим формулы, связанные с прямоугольным треугольником.
Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, две другие стороны - катеты.
1. Соотношения сторон в прямоугольном треугольнике:














2. Любимая теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

3. Если из вершины прямого угла проведена высота (CH), которая делит гипотенузу на отрезки, называемые проекциями катетов на гипотенузу (AH - проекция катета AC, BH - проекция катета CB), имеют место быть формулы:

 Квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу;

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Отсюда вытекает формула:

Все три треугольника окажутся подобными:

 Радиусы вписанной и описанной окружностей.

Заметим, что центр описанной окружности всегда лежит на середине гипотенузы, поэтому если провести из вершины прямого угла медиану, она будет равна половине гипотенузы.

Площадь можно вычислить следующими способами: