B11 (текстовая задача на совместную работу)

Условие. Два каменщика различной квалификации выполнили некоторую работу, причем первый проработал 1 час, прежде чем к нему присоединился второй. Если бы сначала второй каменщик проработал 1 час, а затем к нему присоединился первый, то работа была бы закончена на 12 минут позже. Известно, что первый каменщик четвертую часть работы выполняет на 4 часа быстрее, чем второй выполняет третью часть работы. Сколько минут заняло выполнение всей работы.

Теория. В задачах на совместную работу используются понятия объем работы (A) (часто принимается за 1, если в задаче не сказано другое), время, затраченное на выполнение работы (t) и производительность (p) - величина, показывающая, какой объем работы выполнен за 1 час. Эти три величины связаны следующей формулой: 

При совместной работе производительности складываются: общая производительность равна сумме производительностей каждого участника. 

Анализ. Необходимо быть внимательным, так как в условии задачи встречаются величины, в разных единицах измерения (часы и минуты) и ответ в задаче необходимо давать в минутах (а не часах, как привычнее для нас). Предлагаю решать задачу, выражая время в часах, а в конце перевести полученный результат в минуты. 

Перевод единиц. 12 минут = 12・(1/60) ч =(12/60) ч=(1/5) ч

Так же обращаю внимание, на то, что, казалось бы, не понятно, какое время указывать: первого случая, или же второго, которое на 12 минут больше. ВНИМАТЕЛЬНО ЧИТАЕМ УСЛОВИЕ!!! спрашивают, сколько времени заняло выполнение всей работы (а не заняло бы). Первый случай - изъявительное наклонения, второй - сослагательное! вопрос в задаче в изъявительном наклонении, значит речь идет о первом случае.

Решение. Так как по условию задачи каменщики различной квалификации, принимаем производительность первого каменщика за x, второго - за y, а время, затраченное на выполнение всей работы за t. Объем работы берем равный 1.

Так как сначала первый рабочий работал 1 час, с производительностью x, то он выполнил объем работы, равный 1・x, оставшееся время, а им осталось работать (t-1) час (так как общее время приняли равное t), они работали вместе, значит общая производительность составила (x+y) и выполнили объем работы, равный (t-1)(x+y). В результате вся работа оказалась выполнена, т.е. сделали работу, равную 1, значит 1・x+(t-1)(x+y)=1.

Если бы сначала второй каменщик проработал 1 час, а затем к нему присоединился первый, то работа была бы закончена на 12 минут позже. Производительности каменщиков остаются прежние, а время работы становится на 1/5 больше, то есть (t+1/5). Далее идут аналогичные рассуждения: сначала второй рабочий работал 1 час, с производительностью y, то он выполнил объем работы, равный 1・y, оставшееся время, а им осталось работать (t+1/5)-1=t-4/5 часа (так как общее время приняли равное (t+1/5), они работали вместе, значит общая производительность составила (x+y) и выполнили объем работы, равный (t-4/5)(x+y). В результате вся работа оказалась выполнена, т.е. сделали работу, равную 1, значит 

1・y+(t-4/5)(x+y)=1.

Получили систему двух уравнений. Не будем паниковать из-за того, что в ней три неизвестные. Нам не нужно (пока что) находить производительности, просто выразим одну производительность через другую:

Далее смотрим на неиспользованные данные из условия: известно, что первый каменщик четвертую часть работы выполняет на 4 часа быстрее, чем второй выполняет третью часть работы. Четвертая часть работы (так как вся работа 1) - это 1/4. Производительность первого каменщика x, значит он потратит времени: t=A/p=(1/4):x=1/(4x). Третья часть работы (так как вся работа 1) - это 1/3. Производительность второго каменщика y, значит он потратит времени: t=A/p=(1/3):y=1/(3y). Больше времени потратит второй каменщик, значит от большего отнимаем меньшее - получаем разницу (в 4 часа):

Далее подставляем в это уравнение то, что нашли выше: y=(2/3)・x, получаем уравнение с одной неизвестной:

Таким образом, мы нашли производительности каменщиков. Подставляем эти значения в любое (например, первое) уравнение системы, находим время, потраченное на выполнение всей работы:

Не забыли, что полученный результат - в часах! Переводим его в минуты - получаем

 10 ч = 10・60 мин = 600 мин.

Ответ: 600