Иррациональные числа и действия над ними.

Иррациональным числом называется число, которое нельзя представить в виде дроби m/n, где m – целое, n – натуральное . Примерами иррациональных чисел могут служить числа ㄫ, e, а так же числа, со знаками радикала n-ой степени, не являющиеся точными n-ми степенями.

Рассмотрим более подробно иррациональные числа, содержащие знак радикала (корня) второй степени, не являющиеся точными квадратами. Например, число √2 – иррациональное, так как никакое рациональное число в квадрате не равно 2.

 Отсюда вытекают два основных свойства квадратного корня:

 Если вы чувствуете, что число под корнем достаточно большое, однако целиком корень извлечь нельзя, попробуйте вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложите подкоренное число на простые множители и если в этом разложении существуют парные множители, из каждой пары вынесите по одному из-под знака корня. Например,

 Oднако при внесении и вынесении из-под знака корня множителей, содержащих переменные, будьте особенно внимательны! Почитайте Здесь

Действия над иррациональными числами.

Это означает, что для умножения и деления можно записать все под одним корнем, например:

√2・√3=√(2・3)=√6

Так же помним, что если перед корнем стоит множитель, а от перестановки множителей произведение не меняется, то

 5√2・4√3=5・√2・4・√3=5・4・√2・√3=20√6

Однако запомните раз и навсегда, что нет такого правила для сложения корней! Складывать (и вычитать) можно только числа с одинаковыми корнями, для этого складываем их рациональную часть, а корень оставляем тот же.

          Избавление от иррациональности в знаменателе дроби

Если видите знак корня в знаменателе дроби – избавляйтесь от нее!

Для начала напомню вам два правила:

 Иррациональность бывает двух типов:

11. В знаменателе стоит иррациональное число, над которым выполняют действие умножения (или вообще не выполняют никакого действия).

22. В знаменателе стоит число, участвующее в сложении или вычитании.

Для избавления от иррациональности в знаменателе в первом случае вам необходимо умножить и числитель и знаменатель дроби (основное свойство дроби) на точно такой же корень:

 Во втором случае вам необходимо и числитель и знаменатель дроби умножить на сопряженное выражение (точно такое же выражение, но с другим действием, производимым с числами):

Советую так же изучить статью, которая подскажет вам, как быть, если под знаком корня вы увидите сумму или разность, содержащую иррациональное число.

Задания, предложенные в тестах:
В5, РТ-19 (2 этап)
А11, РТ-20 (2 этап)