Репетитор по математике (Полоцк, Новополоцк): Нахождение определителя матрицы

Я не буду вдаваться в подробности, что такое определитель, а перейду сразу к технической стороне вопроса.

Отметим в начале тот факт, что определитель существует только у квадратной матрицы (то есть у матрицы, количество строк и столбцов которой одинаковы).

Для того, чтобы найти определитель матрицы второго порядка (две строки и два столбца), необходимо воспользоваться следующим правилом:

Взять произведение элементов главной диагонали и отнять от них произведение элементов побочной диагонали:

Графически это будет выглядеть так:

Приведу пример:

Для нахождения определителя матрицы третьего порядка (три строки, три столбца)

Будем пользоваться правилом треугольников:

Для более легкого запоминания приведу графическую картинку: мы берем произведение элементов (их теперь уже три) главной диагонали и "рисуем" треугольники с основаниями, параллельными этой диагонали, эти элементы будут со знаком "плюс" теперь берем побочную диагональ и треугольники с основаниями, параллельными ей. Эти элементы со знаком "минус", либо вынесем "минус" за скобку

Вот пример

Вообще, нахождение любого определителя лучше проверить - благо в интернете существует огромное количество онлайн калькуляторов. Первым гугл выдал вот этот.

Для нахождения определителей порядков выше третьего, обычно раскрывают его по столбцу или строке. Смысл заключается в следующем: берут любую строку (или столбец) и теперь каждый элемент этой строки (столбца) умножают на -1 в степени, равной сумме порядковых номеров строки и столбца, на месте которых стоял тот элемент, умноженной на определитель, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоял данный элемент. Находят сумму полученных произведений.

Например, для нахождения определителя четвертого порядка путем разложения его по второй строке, выполняют следующие преобразования:

Таким образом, определитель будет равен

И далее каждый определитель лучше считать отдельно, а в конце найти сумму.
Например, найдем следующий определитель, разложив его по второй строке:

Отдельно найдем определители:

Результат

Существует еще один способ нахождения определителя матрицы, путем получения с помощью элементарных преобразований (или по правилу прямоугольника) нулей в какой-нибудь строке (столбце). Для этого в интересующей нас строке (разрешающей) выбирают один (любой) элемент, чаще всего равный единице, если такой имеется, и называют его разрешающим элементом. Все остальные элементы этой строки заменяют нулями. Столбец, в котором стоит разрешающий элемент называют разрешающим, и оставляют его без изменения, а все остальные элементы находят по правилу прямоугольника: умножают преобразуемый элемент на разрешающий и вычитают из этого произведения произведение элементов, составляющих вторую диагональ с данными: элемент, стоящий в разрешающей строке и столбце с преобразуемым элементом на элемент, стоящий в разрешающем столбце и строке с преобразуемым элементом.

Покажу наглядно. Допустим, сделаем нули во второй строке. Для этого первый элемент строки будем считать разрешающим (на самом деле вы можете выбрать любой элемент строки), его мы оставляем, а вместо остальных элементов строки записываем нули. Так как разрешающий элемент стоит в первом столбце, то первый столбец будет разрешающим. Элементы разрешающего столбца так же оставляем без изменения.

Все остальные элементы находим по правилу прямоугольников. Для преобразования элемента a12 составляем прямоугольник:

И так далее до конца

Теперь можем раскрыть определитель по второй строке, но так как в этой строке только один ненулевой элемент, то раскрывать будем следующим образом:

Для примера найдем определитель этим способом:

Первый элемент второй строки будет разрешающим (что удобно, так как он равен 1), остальные элементы второй строки записываем равными 0, а первый столбец будет разрешающим. Его переписываем без изменения, все остальные элементы находим.