А12, теорема косинусов и неравенство треугольника

Задание 

Анализ. Слова в задании "Найдите наибольшее возможное значение длины третьей стороны треугольника" наталкивают на мысль, что задача имеет не единственное решение. Так как речь идет о нахождении стороны треугольника, не будем забывать, что не из любой тройки чисел можно составить треугольник со сторонами, равными этим числам. Не лишним будет проверить выполнение неравенства треугольника.

Теория. Теорема косинусов

Неравенство треугольника: любая сторона треугольника меньше суммы длин двух других его сторон (на деле проверяют выполнение неравенства треугольника для большей стороны. Если для большей оно выполняется, то и для остальных сторон также будет верным).

Решение. Пусть сторона AC равна 7, сторона BC равна 4, а синус угла C равен √15/8. Из основного тригонометрического тождества найдем 

 Так как нам не сказано, остроугольный или тупоугольный треугольник, то косинус его угла может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Найдем сторону AB для каждого из значений cos С. Для положительного значения:

 Для отрицательного значения.

 Так как √114>4, проверим неравенство треугольника для значения AB=√114

Неравенство треугольника выполняется, значит наибольшее возможное значение длины третьей стороны √114.
Ответ. 4