A15. Уравнения

Задание. Среди данных утверждений укажите номера верных

1)    Уравнение 2^x=3 не имеет корней.

2)    Корни уравнения 3x²-10x+3=0 являются взаимно обратными числами.

3)    Уравнения x²=9 и |x|=3 равносильны.

4)    Числа 3 и -3 являются корнями уравнения √(x²-5)=4.

5)    Любое действительное число является корнем уравнения x²+4=0.

Варианты ответов:

1)    2, 3;

2)    2, 5;

3)    3, 4;

4)    1, 4;

5)    1, 5.

Теория.

Решить уравнение – это найти все его корни или доказать, что их нет. Корнем уравнения называется такое число, которое при подстановке в уравнение вместо переменной, обратит его в верное числовое равенство. Равносильные уравнения – это такие уравнения, корни которых совпадают. Взаимно обратные числа – это два числа, произведение которых равно 1.

Решение.

1)    Данное уравнение имеет решение x=log₂ 3 – не верно.

2)    Данное уравнение имеет два корня (D>0) произведение которых по теореме Виета равно 1. Верно.

3)    Уравнения x²=9 и |x|=3 равносильны, так как множества их решений {-3; 3} совпадают. Верно

4)    При подстановки чисел 3 и -3 в уравнение они обратят его в неверное числовое равенство: 2=4, значит они не являются корнями уравнения. Не верно.

5)    Не верно, так как, если к примеру, подставить в уравнение вместо переменной число 0, то оно обратит его в неверное числовое равенство (4=0), а значит, не является корнем уравнения, то есть не любое действительное число является корнем уравнения. Не верно.

Ответ. 1

Уравнения. Рациональные уравнения.

Уравнением с одной неизвестной величиной называется выражение вида P(x)=0. То есть, как только в алгебраическом выражении вы увидели одну неизвестную величину (чаще принято обозначать ее x) и знак =, то перед нами уравнение. Итак, что же всегда можно делать при решении уравнений? (равносильные переходы):

1.  Переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, меняя при этом знак слагаемого на противоположный.
2. Умножать или делить обе части уравнения на отличное от нуля число (ни в коем случае на выражение, содержащее переменную, если только изначально вы не проверили, что в случае, если выражение, на которое вы делите или умножаете, не может равняться нулю исходя из условия задачи)

Чтобы решить уравнение, нужно сначала определить его тип. Рациональным будем называть такое уравнение, где переменная встречается только с натуральной степенью (сюда же будем относить и дробно-рациональные, где переменная может оказаться в знаменателе, но она также будет иметь только натуральную степень). Никаких корней, логарифмов, переменной в степени и конечно же, тригонометрических функций с аргументом x.

Способов решения дробно-рациональных уравнений существует гораздо больше, однако в ЦТ чаще всего встречаются следующие:

1.  Приведение рационального выражения к общему знаменателю.
2.  Разложение на множители
3. Замена переменных
4. Метод введения новых переменных

Для примера предлагаю прорешать вам самостоятельно следующие уравнения с моими подсказками и свериться с ответами.

Решенные задания из тестов:
А15, РТ-18(2 этап)
A8, РТ-19 (1 этап)

А15, уравнения

Задание

Решение.

1. Не верно, так как это числовое равенство (в уравнении есть переменная x)

2. Не верно. При подстановке вместо x числа 3 получим верное числовое равенство (24:6=4), значит число 3 является корнем уравнения.

3. Не верно. При подстановке вместо x числа -2 получим неверное числовое равенство 

(-4・3=0), значит -2 не является корнем уравнения.

4. Не верно. 

5. Верно. Оба уравнения не имеют решений (значение косинуса по модулю не превосходит 1, а у нас случай cos x = 1,57, так как ㄫ≈3,14 и значение модуля - число неотрицательное, а у нас |x|=-1). Так как множества решений данных уравнений совпадают, они являются равносильными).

Ответ. 5