Числовые множества. Отношение делимости на множестве натуральных чисел.

Противоположные числа в сумме дают 0. Например, 2 и −2; −13 и 13. Произведение обратных чисел равно 1. Например, 10 и 1/10; −2/3 и −3/2.

Натуральные числа (ℕ) – это числа, которые используются при счете: 1;2;3;… 

Натуральные числа, им противоположные и число 0 образуют множество целых чисел (ℤ): …; −2; −1; 0; 1; 2...

Рациональные числа (ℚ) – это числа, представимые в виде дроби 𝑝/𝑞, где 𝑝− целое число, 𝑞−натуральное число. Например, 1; −5; 0; −74; 514; 2,5, 13/8, 1,(3)… 

Числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными (𝕀): √5; −√19; π, e…

Иррациональные и рациональные числа вместе образуют множество действительных чисел (ℝ).

На множестве натуральны чисел существует понятие делимости

Делителем числа 𝑎 называется такое число, которое делится на 𝑎 без остатка. Число, для которого число 𝑏 является делителем, называется кратным числу 𝑏.

Натуральное число, имеющее только 2 делителя (единицу и само это число) называется простым. Например, 7 делится без остатка только на 1 и 7. Число, имеющее более двух делителей, называется составным. Например, 6 делится без остатка на 1, 2, 3 и 6. Значит, оно является составным. Число 1 не является ни простым, ни составным, т.к. имеет только 1 делитель – 1.

Простые числа первой двадцатки: 2;3;5;7;11;13;17;19.

Признаки делимости:

На 2 делятся четные числа (которые оканчиваются на 0;2;4;6;8)

На 3 делятся те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например, 672⋮3 (6+7+2=15⋮3).

На 5 делятся числа, которые оканчиваются на 0 и 5.

НОК и НОД чисел

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел 𝑎 и 𝑏 – это наибольшее из всех натуральных чисел, на которое делятся и 𝑎 и 𝑏 без остатка.

Если НОД некоторых чисел равен 1, то такие числа называются взаимно простыми.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел 𝑎 и 𝑏 – это такое наименьшее из натуральное чисел, которое делится на 𝑎 и 𝑏 без остатка.

НОК двух взаимно простых чисел равен их произведению.

Для нахождения НОД числа раскладываются на простые множители, а затем выписывается общее из разложений.

Для нахождения НОК числа раскладываются на простые множители, затем выписывается одно (любое) разложение полностью и дописывается, чего не хватает из остальных разложений.

НОК и НОД двух чисел обладают следующим свойством: НОК (a, b) • НОД(a, b) = a • b

Примеры заданий из тестов:
A8, РТ-18(2 этап)
B7, РТ-18(2 этап)
B5, РТ-18(3 этап)
B7, РТ-19(1 этап)
А10, РТ-19(2 этап)
А1, РТ-19(3 этап)