A2. Углы треугольника

Задание. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC через вершину B проведена прямая BM, параллельная стороне AC треугольника (см. рисунок). Если градусная мера внешнего угла при вершине A треугольника ABC равна 133°, то градусная мера угла MBC равна. 

Варианты ответов:

1)    65°;

2)    86°;

3)    63°;

4)    43°;

5)    47°.

Теория.

Равнобедренным называется треугольник, две стороны которого равны. Равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основание. Углы при основании равнобедренного треугольника, равны. Сумма углов любого треугольника равна 180°.

При пересечении двух параллельных прямых третьей (секущей), образуется 8 углов:

  ے3 и ے6; ے4 и ے5 – внутренние накрест лежащие (равны)

ے3 и ے5; ے4 и ے6 – внутренние односторонние (в сумме дают 180°)

ے1 и ے5; ے2 и ے6; ے3 и ے7; ے4 и ے8 – соответственные (равны)

Внешний угол треугольника – угол, смежный с внутренним. Смежные углы – это углы, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол. Сумма смежных углов 180°.

Решение.

Так как  градусная мера внешнего угла при вершине A треугольника ABC равна 133°, то по определению внешнего угла и свойству смежных углов, внутренний угол, при вершине A равен 180°-133°=47°. Тогда угол C так же равен 47°, как угол, при основании равнобедренного треугольника. Углы MBC и BCA равны как накрест лежащие при параллельных AC, BM и секущей BC. Получаем, что угол MBC равен 47°.

Ответ. 5

A5. Перевод градусной меры угла в радианную. Свойство смежных углов.

Задание. Найдите радианную меру угла, смежного с углом в 36°.
Варианты ответов.

1)    4π/5;

2)    7π/10;

3)    2π/3;

4)    7π/6;

5)    8π/15.

Анализ. Для решения задания необходимо знать свойство смежных углов и уметь переводить градусную меру в радианную.

Теория. Сумма смежных углов равна 180°.

α°=α°∙π/180°.

Решение. Находим градусную меру угла, смежного с углом 36°:

180°-36°=144°.

Переводим в радианы: 144°=144°∙π/180°=(сокращаем на 36)=4π/5.

Примечание: аналогичный ответ можно получить, сначала переводя 36° в радианы, а потом, воспользовавшись свойством о сумме смежных углов равной 180°=π, найти угол, смежный с данным.

Ответ. 1