A18. Окружность, вписанная в трапецию

Задание. В прямоугольную трапецию площадью 768 вписана окружность радиуса 12. Найдите длину меньшего основания трапеции.

Варианты ответов:

1. 24;
2. 6;
3. 16;
4. 32;
5. 48;

Анализ

Окружность можно вписать только в тот четырехугольник, у которого суммы противолежащих сторон равны. Диаметр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию равен ее меньшей боковой стороне. Площадь трапеции и радиус вписанной окружности связаны формулой S=r∙p, где p – полупериметр трапеции

Решение

Находим p=S:r=768:12=64, то есть BC+AD=AB+CD=p=64. Так как AB=d=2r=24, то CD=64-24=40. Проведем высоту CH=AB=d=2r=24 и рассмотрим треугольник CHD – прямоугольный, угол H – прямой. CH=24; CD=40. По теореме Пифагора находим DH=32. Учитывая, что BC=AH, обозначим BC=x, тогда AD=AH+HD=x+32. Составим уравнение BC+AD=64, откуда x+x+32=64; 2x=32; x=16. Значит, BC=16 – меньшее основание.

Ответ. 3

A17. Квадратные неравенства

 Задание. Укажите номера квадратных неравенств, которые верны при всех значениях x ϵ [1; 3].

1)    2x²-5x-7<0;

2)    2x²-8x+11>0

3)    4x²-16x+11>0;

4)    4x²-12x+9>0;

5)    2x²-8x+9<0.

Варианты ответов:

1)    2, 4;

2)    1, 2;

3)    3, 5;

4)    3, 4;

5)    1, 5.

Теория тут

Решение

Для решения квадратных неравенств используют свойства знакопостоянства соответствующей квадратичной функции. Так как графиком является парабола, то для схематичного построения графика нам необходимо указать направление ветвей (вверх или вниз, зависит от a>0 или a<0) и нули функции. У всех заданных функций ветви парабол направлены вверх. Найдем нули:

Ответ. 2

A16. Арифметическая прогрессия

Задание. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии (a_n), у которой a₁₃-a₆=28, a₁₄=26.

Варианты ответов:

1)    -98;

2)    -26;

3)    -78;

4)    -208;

5)    -102.

Теория тут

Решение.

Запишем все члены через a₁ – первый член и d – разность прогрессии: a₁₃=a₁+(13-1)d=a₁+12d; a₆=a₁+(6-1)d=a₁+5d; a₁₄=a₁+(14-1)a=a₁+13d.

Подставляем в условие, получаем, a₁₃-a₆=( a₁+12d)-( a₁+5d)=7d=28, откуда d=4. Теперь подставим найденное d в a₁₄: a₁+13∙4=26, откуда a₁=26-52=-26. Теперь зададим формулой n-й член прогрессии: a_n=a₁+(n-1)d=-26+(n-1)∙4=-26+4n-4=4n-30. Узнаем, сколько у нее отрицательных членов (поставим условие a_n<0): 4n-30<0, т.е. n<7,5. Т.к. n может принимать только натуральные значения, то все члены с 1 по 7, включая – отрицательные. Осталось найти сумму первых семи членов этой прогрессии: S₇=(2a₁+(7-1)d)/2∙7=(2∙(-26)+6∙4)/2∙7=-14∙7=-98/

Ответ. 1

A15. Тригонометрические преобразования

Задание. Вычислите sin 2β, если sin β + cos β = 7/13.

Варианты ответов:

1)    120/169;

2)    12/13;

3)    144/169;

4)    -120/169;

5)    -49/169.

Решение.

Возведем обе части исходного равенства в квадрат:

(sin β + cos β)² = (7/13)²
sin² β + cos² β + 2 sin β cos β = 49/169
1+sin 2β = 49/169
sin 2β = 49/169 – 1
sin 2β = -120/169

Ответ. 4

A14. Составление выражения

 Задание. Масса m вещества, его плотность ρ и объем V связаны формулой m=ρV. Составьте формулу для нахождения плотности (в граммах на сантиметр кубический) латуни, если латунный кубик с ребром, равным 2 см, имеет массу a г.

Варианты ответов:

1)    ρ=a/8;

2)    ρ=a/4;

3)    ρ=8a;

4)    ρ=4a;

5)    ρ=a/2

Решение

Из заданной формулы m=ρV выражаем плотность: ρ=m/V, для решения задачи в формулу необходимо подставить массу m и объем V тела. По условию задачи масса тела равна a. Объем тела находим по формуле V=2³=8, т.к. тело представляет из себя куб, объем которого находим V=a³, где a – ребро куба. Получаем ρ=a/8.

Ответ. 1