A16. Арифметическая прогрессия

Задание. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии (a_n), у которой a₁₃-a₆=28, a₁₄=26.

Варианты ответов:

1)    -98;

2)    -26;

3)    -78;

4)    -208;

5)    -102.

Теория тут

Решение.

Запишем все члены через a₁ – первый член и d – разность прогрессии: a₁₃=a₁+(13-1)d=a₁+12d; a₆=a₁+(6-1)d=a₁+5d; a₁₄=a₁+(14-1)a=a₁+13d.

Подставляем в условие, получаем, a₁₃-a₆=( a₁+12d)-( a₁+5d)=7d=28, откуда d=4. Теперь подставим найденное d в a₁₄: a₁+13∙4=26, откуда a₁=26-52=-26. Теперь зададим формулой n-й член прогрессии: a_n=a₁+(n-1)d=-26+(n-1)∙4=-26+4n-4=4n-30. Узнаем, сколько у нее отрицательных членов (поставим условие a_n<0): 4n-30<0, т.е. n<7,5. Т.к. n может принимать только натуральные значения, то все члены с 1 по 7, включая – отрицательные. Осталось найти сумму первых семи членов этой прогрессии: S₇=(2a₁+(7-1)d)/2∙7=(2∙(-26)+6∙4)/2∙7=-14∙7=-98/

Ответ. 1