A15. Тригонометрические уравнения

Задание. Укажите номера уравнений, которые не имеют решений.

Варианты ответов.

1. 4, 5;
2. 1, 2;
3. 1, 4;
4. 1, 3;
5. 2, 4.

Теория. . Уравнения tg x=a и ctg x=a имеют решения при любом a. Уравнения cos x=a и sin x=a имеют решения только при |a|≤1.

Анализ. Выясним, чему равен arctg √3. Табличное значение, arctg √3=π/3 (π≈3,14)
Решение.

1 и 4 уравнения не имеют корней, так как уравнения cos x=a и sin x=a имеют решения только при |a|≤1, а 4/3>1 и π/3>1 (3,14/3>1). Остальные уравнения имеют корни.

Ответ. 3

A14. Составление выражения для определения площади

Задание. На рисунке изображен квадрат со стороной, равной 1. Составьте выражение для определения площади заштрихованной части квадрата, если AO=BO=CO=DO=x. 
Варианты ответов.












Анализ. Заштрихованная часть получилась после того, как квадрат разбили диагоналями на 4 треугольника, а потом из этих треугольников "вырезали" маленькие треугольники.
Решение. Площадь квадрата со стороной 1 равна 1. Он разбит на 4 равных треугольника, площадь каждого ¼, значит площадь трех треугольников ¾. Из этих треугольников «вырезали» три равных прямоугольных (так как диагонали квадрата пересекаются под прямым углом) равнобедренных треугольника с катетами x (по условию). Площадь каждого треугольника S=1/2∙x² . Площадь трех таких треугольников 3/2∙x² .Значит, площадь заштрихованной фигуры
¾-3/2 x²
Ответ. 1.

Основные способы решения логарифмических уравнений

     1.  По определению логарифма. Если в одной части уравнения стоит логарифм функции, а во второй – число, то по определению логарифма получаем равносильный переход:

Пример 

    2. Обе части – логарифмы по одному и тому же основанию. Если равны логарифмы, то равны и функции, которые стоят под логарифмами, но с учетом их существования:

Пример

    3. В основании логарифма также содержится функция. Аналогично предыдущим примерам, но также необходимо выставить условие существования функции – основания логарифма

Пример

     4. Замена. Одинаковые логарифмы целесообразно заменить.

Пример.

5. С применением свойств логарифма. Если применяем свойства логарифма, то советую изначально рассмотреть ОДЗ исходного уравнения. Не забываем так же, что при применении свойства для четной степени, появляется модуль:

Пример

Которое верно только для m>0, n>0, a>0, a≠1. Если этого не учесть, то мы расширим область допустимых значений для уравнения, тем самым не все корни нового уравнения могут являться корнями исходного. Чтобы не делать потом проверку путем подстановки в условие ответов (просто лень считать заново, а кроме того, числа могут быть и вовсе иррациональные), я изначально проверю условие существования всех логарифмов:

    6.  Логарифмирование обеих частей целесообразно проводить, когда решаем либо показательное уравнение, которое нельзя решить в рациональных степенях, либо когда в показательном уравнении и в основании степени также содержится переменная. В этом случае логарифмируем обе части уравнения под одному и тому же, наиболее удобному, основанию

Пример 1

Пример 2

A13. Соотношение длин и сторон в прямоугольном треугольнике

Задание. В прямоугольном треугольнике ABC катет BC равен 15, tg ∠BCA = 2√2. Найдите длину гипотенузы AC.
Варианты ответов.

Теория. Прямоугольный треугольник
Анализ. Будем внимательны, непривычное обозначение прямоугольного треугольника - AC - гипотенуза. Обязательно начертите чертеж по задаче.
Решение.

Из соотношения сторон и углов в прямоугольном треугольнике и по определению тангенса имеем:

Зная длины двух катетов, находим гипотенузу по теореме Пифагора:

 Ответ. 4

A12. Градусная и радианная мера угла

Задание. Найдите радианную меру угла, градусная мера которого равна 204°.
Варианты ответов. 

Теория. Формула перевода из градусов в радианы:

Анализ. Но даже если вы забыли формулу, достаточно помнить, что π=180°, тогда можно подставить это значение в ответы и найти, в каком случае получится данные 204°.

Так же можно составить пропорцию, из которой найдем искомое значение:

Решение. 
Подставляем в формулу:

Ответ. 1

A10. Геометрическая прогрессия.

Задание. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии

Варианты ответов.

1. -51,75;
2. 19,5;
3. -521,25;
4. 81;
5. -614,25.

Теория. Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число (знаменатель прогрессии). Знаменатель прогрессии находится по формуле 

Анализ. Можно даже не помнить формулу суммы n первых членов, потому что здесь не составит труда выписать первых шесть членов и просуммировать их.

Решение.

Находим знаменатель прогрессии:

В задании даны первые три члена этой прогрессии. Теперь находим четвертый: 12*(-4)=-48; пятый: -48*(-4)=192 и шестой: 192*(-4)=-768. Теперь находим их сумму:

0,75-3+12-48+192-768=-614,25

Но вообще, можно не находить эту сумму, а методом исключения откинуть сразу же ответы 4 и 2, так как в 4-м ответе целое число, а у нас не может быть результат целым, а 2-й ответ откинуть по той же причине, так как у нас есть единственное дробное число 0,75, то результат не может получиться 19,5. Теперь объединим слагаемые: (0,75-3)+(12-48)+(192-768). В каждой скобке получается отрицательное число, причем в последней скобке будет -576, а значит, общая сумма еще меньше, таким образом остается только один ответ, пятый. Но я бы не советовала так рисковать, лучше для подстраховки посчитать нужную сумму, причем действия все выполнить в столбик, во избежание ненужных глупых ошибок.

Ответ. 5

A9. График S=S(t)

Задание. На рисунке приведены графики движения велосипедиста и мотоциклиста. Определите, сколько минут находился в пути мотоциклист к тому моменту, когда велосипедист проехал 2 км. 

Варианты ответов

1. 5;
2. 9;
3. 12;
4. 15;
5. 18.

Анализ. По рисунку видно, что мотоциклист отправился в путь позже велосипедиста.
Решение.

На оси S находим значение 2 км. (так как одна клетка равна 0,5 км, то это будет 4 клетки). Находим, какому значению t соответствует это значение S=4 для велосипедиста. Получаем 5 клеток. Так как одна клетка равна 3 минутам, значит, велосипедист проехал 2 км за 5*3=15 минут. Но по графику видно, что мотоциклист отправился в путь на 6 минут (2 клетки) позже, значит, он находился в пути 15-6=9 минут.

Ответ. 2

A8. Теорема Виета

Задание. Найдите произведение корней уравнения

Варианты ответов.

1. 4,7;
2. 4,4;
3. -4,7;
4. -4,4;
5. -4,23.

Теория. Теорема Виета: Если в квадратном уравнении D>0, то

Решение. В данном уравнении

Значение дискриминанта можно не находить, так как, очевидно, он больше нуля. Применяем теорему Виета:

Произведение корней уравнения равно -14,1/3=-4,7.

Ответ. 3

A7. Умножение одночленов

Задание. Выполните умножение одночленов

Варианты ответов.

Теория. На всякий случай, про одночлены и многочлены
Анализ. При умножение одночленов коэффициенты умножаем друг на друга, а переменные – друг на друга, не забываем про свойства степеней
Решение.

Ответ. 4

A6. Линейная функция

Задание. Укажите номер уравнения, графиком которого может быть прямая, изображенная на рисунке 

Варианты ответов.

1. 7x+2y=9;
2. 2x+7y=14;
3. 7x-2y=14;
4. 2x-7y=14;
5. 7x+2y=14.

Анализ. Прямая проходит через точки (2; 0) и (0;7). Подставляем их в уравнения. То из уравнений, которому удовлетворяют координаты обеих точек и задает изображенную прямую
Решение.

1)    7∙2+2∙0≠9 (не подходит)

2)    2∙2+7∙0≠14 (не подходит)

3)    7∙2-2∙0=14

7∙0-2∙7≠14 (не подходит)

4)    2∙2-7∙0≠14 (не подходит)

5)    7∙2+2∙0=14

7∙0+2∙7=14 (подходит)

Ответ. 5