Пришло время задействовать все резервы или Мое традиционное послание выпускникам

Всем хорошего дня и у меня для вас неожиданная новость! Больше ничего изучать не будем!

Нового!

Оставшееся время потратим на систематизацию, повторение и обобщение того, что мы наработали за все время. Кто-то накапливал знания в течение долгих 11 лет, кто-то попытался постигнуть программу всей школьной математики за последний год - при индивидуальной работе с учениками я подстраиваюсь под каждого лично, но с сегодняшнего дня план один для всех: отшлифовываем наши знания!

А это значит, что первостепенной задачей для вас теперь является полнейший разбор трех этапов репетиционного тестирования. Практически все задания разобраны здесь. Вы должны не просто просмотреть какого типа задания были, а досконально изучить решение каждого, чтобы у вас не осталось ни вопросов по этим решениям, ни пробелов в теме, по которой это задание.

Далее особое внимание советую обратить на темы, которые переходили из одного этапа в другой:

1. Свойства степеней (1 этап, опять 1 этап, 2 этап и 3 этап)

2. Градусная и радианная мера угла (1 этап, 2 этап, 3 этап)

3. Свойства касательной к окружности (1 этап, 2 этап, 3 этап)

4. Теорема Виета (1 этап, 2 этап, 3 этап)

5. Извлечение корня из суммы или разности (1 этап, 2 этап, 3 этап)

6. Соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике (1 этап, 2 этап, 3 этап)

7. Простейшие тригонометрические уравнения (1 этап, 2 этап, 3 этап)

8. Иррациональные уравнения (1 этап, 2 этап, 3 этап)

9. Метод интервалов для решения рациональных неравенств (1 этап, 2 этап, 3 этап)

Мои ученики по каждой из этих тем получат огромное количество заданий для отработки и систематизации. Тем, кто готовится самостоятельно также советую решать много задач на эти темы.

Помимо указанных тем еще решаем в большом количестве:

Преобразования алгебраических выражений и разложение на множители многочленов;

Показательные уравнения;

Логарифмические неравенства;

Геометрические задачи из экзаменационного сборника за 11 класс;

Задачи, связанные с определением и свойствами логарифма;

Упражняемся в переводе единиц измерения

Финальным шагом в подготовке к ЦТ станет, как обычно, составленный мною тест, который я опубликую накануне тестирования.

Всем удачи и сил на оставшиеся полтора месяца, а мы приступаем к такой плотной работе, что даже моя кошка скоро будет готова к сдаче тестирования!

B11. Текстовая задача на проценты

Задание. В питомнике растут только ели и сосны. Ели составляют 45% всех деревьев в питомнике. Для реализации вырубили и вывезли некоторое количество елей. Теперь ели составляют 12% всех оставшихся деревьев. Определите, сколько процентов p составляют увезенные ели от елей, которые росли в питомнике первоначально. В ответ запишите значение выражения 6p.

Решение.

Пусть в питомнике росло x деревьев, тогда елей было 0,45x. Пусть для реализации вывезли y сосен. Составим таблицу:

 Зная, что теперь ели составляют 12% от всех деревьев, составим уравнение:

0,12(x-y)=0,45x-y.

При решении учтем, что нужно найти сколько процентов составляют увезенные ели от елей, которые росли в питомнике, то есть p=(y/(0,45x))∙100%. То есть при решении уравнения нужно выразить величину y/x.

0,12x-0,12y=0,45x-y  |:x

0,12-0,12y/x=0,45-y/x

y/x-0,12y/x=0,45-0,12

0,88y/x=0,33

y/x=3/8

Ответ. 500

B10. Иррациональное уравнение

Задание. Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения

 В ответ запишите полученный результат увеличенный в 7 раз.

Анализ. Отработанные до блеска примеры на иррациональные уравнения с моими учениками на занятиях, исписанные стопки листков, заученная до автоматизма теория - и все равно только один мой ученик справился с заданием - и то, как выяснилось потом, угадал.

Теория. Идем строго по схеме
Решение.

Простейшее уравнение? – нет.

Замену вводим? – нет.

Значит находим ОДЗ:

Так как разложить на множители не получится, нужно возводить обе НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ части в квадрат, но если про правую часть мы можем утверждать, что она неотрицательна (так как справа стоит корень, значение которого всегда неотрицательно), то про левую часть, представляющую из себя разность двух корней, мы такого сказать не можем. А вот если перенесем из левой части вправо корень с «минусом», то при переносе его знак изменится на «плюс» и сумма двух корней уже будет неотрицательным числом, что позволит нам возвести обе части в квадрат:

Далее мы приходим к простейшему иррациональному уравнению третьего типа, для решения которого от иррационального уравнения переходят к системе:

При решении квадратного уравнения выйдем на очень большие значения корня, однако если заметить, что 3x-16=3x-15-1=3(x-5)-1, можно догадаться ввести замену: x-5=t, откуда x=t+5, что значительно облегчит дальнейшие вычисления:

Производим обратную замену: x=t+5=3+5=8

Увеличенный в 7 раз результат: 7∙8=56

Ответ. 56

B9. Тела вращения

Задание. Длины двух сторон треугольника равны 4 и 6, а угол между ними равен α, cos α =-3/4. Найдите объем тела, полученного в результате вращения треугольника вокруг стороны, равной 6. Считайте число π равным числу Архимеда 22/7.

Анализ. Сразу обращаем внимание на то, что треугольник тупоугольный, так как косинус его угла отрицательный

Теория. Объем конуса находим по формуле V=1/3∙πR²∙H, где R – радиус основания, H – высота конуса.

Решение.

Пусть AB=6, AC=4, cos A = -3/4.

При вращении тела вокруг стороны AB эта сторона остается фиксированной (является осью), а все остальные точки описывают окружности радиуса равного расстоянию между этой точкой и стороной AB.

Для нахождения объема полученного тела вращения можно найти объем конуса с осью BO (см рисунок) и образующей BC и из этого объема вычесть объем конуса с осью AO и образующей AC.

Углы OAC и CAB – смежные, их сумма равна 180°, а значит, по формулам приведения, cos ے OAC=-cos ے CAB. cos ے OAC=3/4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OAC. По условию AC (гипотенуза)=4. По найденному cos ے OAC=3/4. Из соотношений в прямоугольном треугольнике cos ے OAC=OA/AC, значит OA=3, по теореме Пифагора OC=√7.

OB=BA+AO=6+3=9.

Для конуса с осью BO=9: V=1/3∙22/7∙(√7)²∙9=66.

Для конуса с осью AO=3: V=1/3∙22/7∙(√7)²∙3=22.

Объем полученного тела вращения V=66-22=44.

Ответ. 44

B8. Показательное уравнение

Задание. Найдите произведение корней (корень, если он единственный) уравнения

Теория. Свойства степеней
Способы решения показательных уравнений
Решение.

По теореме Виета произведение корней -9.

Ответ. -9

B7. Логарифмическое неравенство

Задание. Найдите сумму всех целых чисел из области определения функции:

Анализ. Если функция задана корнем, то для нахождения ее области определения нужно выставить условие: подкоренное выражение неотрицательно. Таким образом получаем логарифмическое неравенство и решаем его.

Теория. Основные способы решения логарифмических неравенств
Решение.

Пересекая оба решения получаем x ϵ (1; 19 2/3).

Сумма всех целых решений:

2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19=(2+19)∙9=21∙9=189

Ответ. 189

B6. Неравенство с модулем

Задание. Найдите произведение наибольшего отрицательного и наименьшего положительного целых решений неравенства

  x²-6x-4|x-3|-12≥0.

Анализ. Воспользуемся самым простым способом - методом интервалов с использованием определения модуля

Теория. Так как после раскрытия модуля неравенство станет рациональным, вспомним теорию по рациональным неравенствам

Решение.

Находим нули подмодульных выражений (в нашем случае только один модуль, значит и подмодульное выражение только одно: x-3. Находимо его нули:

x-3=0

x=3.

Числовая прямая разбивается этим нулем на два промежутка, на каждом из них раскроем модуль по определению: если подмодульное выражение неотрицательно, то модуль раскрывается с тем же знаком, а если отрицательно – с противоположным.

Общее решение xϵ(-∞; -4] Ս [10; +∞).

Наибольшее целое отрицательное решение -4; наименьшее целое положительное решение 10. Их произведение -4∙10=-40.

Ответ. -40

B5. Площадь треугольника

Задание. Прямая проходящая через вершину A треугольника ABC, делит его медиану BM в отношении 1:3, считая от вершины B и пересекает сторону BC в точке K. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника ABK равна 17.

Анализ. Важная задача, при решении советую обратить внимание на разбор похожей задачи из второго этапа

Теория. Площадь треугольника находим по формуле S=1/2absinα, где α – угол, между этими сторонами. 

Теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Решение. Для решения задачи важен хороший чертеж.

S_ABC=1/2∙AB∙BC∙sin B

S_ABK=1/2∙AB∙BK∙sin B→1/2∙AB∙sin B= S_ABK/BK

S_ABC=(BC∙S_ABK)/BK

То есть, учитывая то, что S_ABK нам известна, для решения задачи необходимо найти отношение BC/BK.

Проведем через точку M прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает сторону BC в точке L.

По теореме Фалеса: AM:MC=KL:CL, а так как AM=MC (по условию BM – медиана), то KL=CL. Далее аналогично BK:KL=1:3, откуда если принять BK=y, то KL=3y, CL=KL=3y, значит, CB=CL+LK+BK=7y, то есть CB/BK=7/1, подставляем в формулу:

S_ABC=(BC∙S_ABK)/BK= S_ABK∙(BC/BK)=17∙7=119.

Ответ. 119

B4. Дробно-рациональное неравенство

Задание. Найдите произведение наименьшего целого решения на количество целых решений неравенства

Анализ. Очень внимательно читаем, что от нас требуют в условии задания: найдите произведение наименьшего целого решения на количество целых решений неравенства.

Произведение – значит мы будем умножать наименьшее целое решение на количество (столько, сколько всего) целых решений.

Теория. Дробно-рациональные неравенства
Решение.

Перед нами – дробно-рациональное неравенство.

1). Справа – ноль.

2). Слева – одна дробь.

3). Числитель дроби не разложен на линейные множители, а именно, множитель (x-2)²+4x-53. Разложим его:

(x-2)²+4x-53=x2-4x+4+4x-53=x²-49=(x-7)(x+7)

Решение неравенства xϵ{-7}Ս(5; 7].

Целые решения: -7; 6; 7.

Количество решений 3, наименьшее целое -7. Произведение -7∙3=-21.

Ответ: -21

B3. Текстовая задача с элементами перевода величин.

Задание. Смешали два вида конфет: шоколадные по цене 8 руб. 80 коп. за килограмм и карамель по цене 4 руб. 20 коп. за килограмм. Получили 10 кг смеси по цене 7 руб. 19 коп. за килограмм. Определите, сколько граммов шоколадных конфет в этой смеси.

Анализ. Задача на перевод единиц, будьте внимательнее!

Решение.

Сразу все переводим в граммы (так как вопрос задачи именно в граммах) и стоимость переводим в копейки (так удобнее).

8 руб. 80 коп. = 880 коп. за 1000 г, т.е цена 0,88 коп за 1 г

4 руб. 20 коп. = 420 коп. за 1000 г, т.е цена 0,42 коп за 1 г

7 руб. 19 коп. = 719 коп. за 1000 г, т.е цена 0,719 коп за 1 г

10 кг = 10000г

Пусть купили x г шоколадных конфет и заплатили 0,88x коп, и (10000-x) г карамели (так как в общей сложности купили 10 кг конфет) и заплатили 0,42∙(10000-x) коп. Всего заплатили 0,88x+0,42∙(10000-x) коп, что по условию задачи составляет 0,719∙10000=7190 коп. Составим уравнение:

0,88x+0,42∙(10000-x)=7190

0,88x+4200-0,42x=7190

0,46x=7190-4200

0,46x=2990

x=6500

Значит, купили 6500 г шоколадных конфет.

Ответ. 6500

Способы решения некоторых дифференциальных уравнений (часть 3) (уравнения высших порядков, допускающие понижения)

 Не очень люблю такие дифференциальные уравнения, потому что в них не нужно думать, в них нужно просто уметь очень хорошо брать интегралы. Это уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка, правая часть которых – функция одной переменной.

Например, найти общее решение дифференциального уравнения

Левая часть уравнения – производная третьего порядка, а правая – функция, зависящая только от переменной x. Для решения данного уравнения нужно взять три раза производную:

B2. Функции и их свойства

Задание. Функция y=f(x) определена на множестве действительных чисел R, является четной и периодической с наименьшим положительным периодом T=22 и при xϵ[-11; 0] задается графиком (см. рисунок). Выберите три верных утверждения. 

1) Наименьшее значение функции равно 0.

      2)  f(61)=3.

      3) Функция принимает только отрицательные значения на промежутке (0; 8).

      4) Функция убывает на промежутке [4; 11].

      5) Функция имеет четыре нуля на промежутке [-9; 16].

      6)  f(-4)<f(2).

Анализ. Будем внимательны при записи ответа. Ответ записывайте строго в том виде, в каком это просят в задании! В задании есть подсказка о том, что верных ответа три. Для решения можно либо воспользоваться определением четной функции, либо понимать, что график четной функции симметричен относительно ось ординат и часть свойств функции исследовать по графику

Теория. Определением четной функции: f(-x)=f(x). T называется наименьшим положительным периодом функции, если для любого x из области ее определения верно f(x)=f(x+T)=f(x-T). Больше теории по функциям

Решение.

1)    Очевидно неверно, так как функция имеет значения, меньше чем 0 (-3 – наименьшее значение)

    2)    f(61)=f(61-22) =f(39-22)= f(17-22) =f(-5)=3 По определению наименьшего положительного периода функции), значит – верно.

  3)    По графику видно, что на промежутке
(0; 8) функция принимает только положительные значения, значит – неверно.

  4)    По графику видно, что на промежутке [4; 11] функция убывает, значит – верно.

      5)    По графику можно определить три нуля функции – это точки -8; 0; 8. Воспользовавшись определением наименьшего положительного периода определяем еще нули функции: -8+22=14; -8-22=-30; 0+22=22; 0-22=-22; 8+22=30; 8-22=-14. Получаем, на промежутке [-9; 16] нули функции: -8; 0; 8; 14. Значит, четыре нуля, и значит – верно. По идее в задании была подсказка, что верных три ответа и этого должно хватить, но на всякий случай, проверим последнее утверждение:

6)    Определяем по графику f(-4)=4 – это наибольшее значение функции и оно уже не может быть меньше какого-то другого, но найдем f(2)=f(-2)=4 это по определению четной функции, или же посмотреть f(2)=4 по графику. Получаем, f(-4)=f(2), то есть утверждение о том, что f(-4)<f(2) – неверно.

Ответ. 245

Способы решения некоторых дифференциальных уравнений (часть 2) (Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка)

Найти общее решение или общий интеграл:

 Разделим обе части уравнения на x³:

 Далее подставляем полученную функцию в (*) и получим дифференциальное уравнение с разделяющимися или разделенными  переменными:

 Решаем относительно функции u, находим ее и делаем обратную замену y=uv. Решать в общем виде я не буду, чтобы не сильно испугать таким решением. Перейдем к конкретному примеру:

 Подставляем в (*):

Способы решения некоторых дифференциальных уравнений (часть 1)

В рамках подготовки одной моей ученицы к контрольной по дифференциальным уравнениям, рассмотрю способы решения некоторых их типов.

Тип 1.

Решить задачу Коши для уравнения

 Задача Коши для дифференциального уравнения – это начальные условия для его решения поэтому сначала все равно нужно решать само уравнение.

 Уравнение с разделенными переменными, так как функция перед dy зависит только от переменной y, а функция перед dx – только от переменной x. Для решения такого уравнения достаточно проинтегрировать обе части:

 Получаем общий интеграл для решения дифференциального уравнения:

 Подставляем начальные условия: y(0)=0 (то, что в скобках – вместо x, то, чему это равно – вместо y):

 Таким образом, решение задачи Коши:

 Тип 2.

Решить задачу Коши

B1. Числа

Задание. Для начала каждого из предложений А – В подберите его окончание 1 – 6 так, чтобы получилось верное утверждение.

Анализ. В таких заданиях будьте особо внимательны при записи ответов, обязательно читайте, в каком виде требуется указать ответ. При необходимости можете даже спросить у организаторов тестирования.

Теория. советую изучить
Решение.

Ответ. А2Б4В5

A18. Стереометрия

Задание. Длина основания правильной треугольной пирамиды равна 10, угол между плоскостью основания и боковой гранью равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Варианты ответов.

1)    10√6;

2)    25√6;

3)    25√2;

4)    50√3;

5)    50√6.

Теория. Правильная треугольная пирамида – это такая пирамида, у которой в основании лежит равносторонний треугольник, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Угол между плоскостью основания и боковой гранью – это угол между двумя плоскостями.

Решение. Для построения угла на прямой пересечения плоскостей (ребре основания) необходимо взять точку и построить перпендикуляры к этом ребру в каждой из плоскостей. Такой точкой может служить M – середина ребра BC. SM┴BC, так как треугольник SBC равнобедренный с основанием BC и M – середина основания, а значит, SM является не только медианой, но и высотой. Аналогично в равностороннем треугольнике ABC AM является медианой и высотой (либо по теореме о трех перпендикулярах). Получаем, угол SMA равен 45°. S_бок=3∙S_SBC. По условию длина основания правильной треугольной пирамиды равна 10. Пусть O – центр треугольника ABC, тогда OM – радиус вписанной окружности и OM=10√3/6=5√3/3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM, так как O – центр основания, а высота правильной пирамиды падает в центр основания. 

Ответ. 2

A17. Тригонометрическое уравнение.

Задание. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения

Варианты ответов.

1. -50;
2. -80;
3. -70;
4. -20;
5. -10

Решение.

При n=0, x=50° или x=-50°

При n=1, x=50°+120°=170°(>0) или x=-50°+120°=70°(>0)

При n=-1, x=50°-120°=-70°(<-50) или x=-50°-120°=-170°(<-50°)

Получаем, что наибольший отрицательный корень – -50°.

Ответ. 1

A16. Шар и его сечение

Задание. Через точку A на поверхности шара проведена секущая плоскость. Площадь полученного сечения равна 24. Угол между секущей плоскостью и радиусом шара, проведенным в точку A, равен 30°. Найдите площадь поверхности шара.

Варианты ответов.

1)    64π;

2)    48;

3)    128;

4)    32;

5)    16π.

Анализ. Анализируя варианты ответов отмечаем, что некоторые ответы даны с π, а некоторые – без π, поэтому будем особо внимательны при выборе ответа. Также в условии имеется угол в 30°. Вероятно, в решении задачи появится прямоугольный треугольник с углом в 30°, а мы помним, что это – особенный треугольник.

Теория. Необходимая теория: при сечении шара плоскостью в сечении получается круг, площадь круга S=πr², где r – радиус круга. Площадь поверхности шара S=4πR², где R – радиус шара. Угол между секущей плоскостью и радиусом шара, проведенным в точку A – это угол между прямой и плоскостью, а он равен углу между этой прямой и проекцией этой прямой на плоскость. 

Решение.

Итак, секущая плоскость отстоит на некотором расстоянии от плоскости, в которой лежит центр шара, так как радиус шара наклонен к секущей плоскости под некоторым углом (иначе радиус бы лежал в этой плоскости), опустим перпендикуляр OO₁ из центра шара на секущую плоскость (точка O₁ – центр сечения, то есть центр круга), тогда OO₁ – перпендикуляр, OA – наклонная, AO₁ – проекция этой наклонной на плоскость сечения, а значит, угол между радиусом OA и секущей плоскостью – это угол OAO₁, по условию он равен 30°. Площадь сечения равна 24, S=πr², значит 24=πr², откуда AO₁=r=√(24/π). Рассмотрим прямоугольный треугольник OAO₁ с углом 30°. Для решения задачи необходимо знать радиус шара, а это OA или гипотенуза для рассматриваемого треугольника. С четом того, что нам известен прилежащий к углу 30° катет, а нужно найти гипотенузу, составляем синус 30°: sin 30°= AO₁/OA

Теперь, зная радиус шара, находим площадь его поверхности:

S=4πR²=4π∙(32/π)=128.

Ответ. 3