Страницы

понедельник, 8 апреля 2019 г.

A16. Шар и его сечение

Задание. Через точку A на поверхности шара проведена секущая плоскость. Площадь полученного сечения равна 24. Угол между секущей плоскостью и радиусом шара, проведенным в точку A, равен 30°. Найдите площадь поверхности шара.
Варианты ответов.
1)    64π;
2)    48;
3)    128;
4)    32;
5)    16π.
Анализ. Анализируя варианты ответов отмечаем, что некоторые ответы даны с π, а некоторые – без π, поэтому будем особо внимательны при выборе ответа. Также в условии имеется угол в 30°. Вероятно, в решении задачи появится прямоугольный треугольник с углом в 30°, а мы помним, что это – особенный треугольник.
Теория. Необходимая теория: при сечении шара плоскостью в сечении получается круг, площадь круга S=πr2, где r – радиус круга. Площадь поверхности шара S=4πR2, где R – радиус шара. Угол между секущей плоскостью и радиусом шара, проведенным в точку A – это угол между прямой и плоскостью, а он равен углу между этой прямой и проекцией этой прямой на плоскость. 
Решение.
Итак, секущая плоскость отстоит на некотором расстоянии от плоскости, в которой лежит центр шара, так как радиус шара наклонен к секущей плоскости под некоторым углом (иначе радиус бы лежал в этой плоскости), опустим перпендикуляр OO1 из центра шара на секущую плоскость (точка O1 – центр сечения, то есть центр круга), тогда OO1 – перпендикуляр, OA – наклонная, AO1 – проекция этой наклонной на плоскость сечения, а значит, угол между радиусом OA и секущей плоскостью – это угол OAO1, по условию он равен 30°. Площадь сечения равна 24, S=πr2, значит 24=πr2, откуда AO1=r=(24/π). Рассмотрим прямоугольный треугольник OAO1 с углом 30°. Для решения задачи необходимо знать радиус шара, а это OA или гипотенуза для рассматриваемого треугольника. С четом того, что нам известен прилежащий к углу 30° катет, а нужно найти гипотенузу, составляем синус 30°: sin 30°= AO1/OA
Теперь, зная радиус шара, находим площадь его поверхности:
S=4πR2=4π(32/π)=128.
Ответ. 3

1 комментарий: