A16. Шар и его сечение

Задание. Через точку A на поверхности шара проведена секущая плоскость. Площадь полученного сечения равна 24. Угол между секущей плоскостью и радиусом шара, проведенным в точку A, равен 30°. Найдите площадь поверхности шара.

Варианты ответов.

1)    64π;

2)    48;

3)    128;

4)    32;

5)    16π.

Анализ. Анализируя варианты ответов отмечаем, что некоторые ответы даны с π, а некоторые – без π, поэтому будем особо внимательны при выборе ответа. Также в условии имеется угол в 30°. Вероятно, в решении задачи появится прямоугольный треугольник с углом в 30°, а мы помним, что это – особенный треугольник.

Теория. Необходимая теория: при сечении шара плоскостью в сечении получается круг, площадь круга S=πr², где r – радиус круга. Площадь поверхности шара S=4πR², где R – радиус шара. Угол между секущей плоскостью и радиусом шара, проведенным в точку A – это угол между прямой и плоскостью, а он равен углу между этой прямой и проекцией этой прямой на плоскость. 

Решение.

Итак, секущая плоскость отстоит на некотором расстоянии от плоскости, в которой лежит центр шара, так как радиус шара наклонен к секущей плоскости под некоторым углом (иначе радиус бы лежал в этой плоскости), опустим перпендикуляр OO₁ из центра шара на секущую плоскость (точка O₁ – центр сечения, то есть центр круга), тогда OO₁ – перпендикуляр, OA – наклонная, AO₁ – проекция этой наклонной на плоскость сечения, а значит, угол между радиусом OA и секущей плоскостью – это угол OAO₁, по условию он равен 30°. Площадь сечения равна 24, S=πr², значит 24=πr², откуда AO₁=r=√(24/π). Рассмотрим прямоугольный треугольник OAO₁ с углом 30°. Для решения задачи необходимо знать радиус шара, а это OA или гипотенуза для рассматриваемого треугольника. С четом того, что нам известен прилежащий к углу 30° катет, а нужно найти гипотенузу, составляем синус 30°: sin 30°= AO₁/OA

Теперь, зная радиус шара, находим площадь его поверхности:

S=4πR²=4π∙(32/π)=128.

Ответ. 3