B5. Площадь треугольника

Задание. Прямая проходящая через вершину A треугольника ABC, делит его медиану BM в отношении 1:3, считая от вершины B и пересекает сторону BC в точке K. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника ABK равна 17.

Анализ. Важная задача, при решении советую обратить внимание на разбор похожей задачи из второго этапа

Теория. Площадь треугольника находим по формуле S=1/2absinα, где α – угол, между этими сторонами. 

Теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Решение. Для решения задачи важен хороший чертеж.

S_ABC=1/2∙AB∙BC∙sin B

S_ABK=1/2∙AB∙BK∙sin B→1/2∙AB∙sin B= S_ABK/BK

S_ABC=(BC∙S_ABK)/BK

То есть, учитывая то, что S_ABK нам известна, для решения задачи необходимо найти отношение BC/BK.

Проведем через точку M прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает сторону BC в точке L.

По теореме Фалеса: AM:MC=KL:CL, а так как AM=MC (по условию BM – медиана), то KL=CL. Далее аналогично BK:KL=1:3, откуда если принять BK=y, то KL=3y, CL=KL=3y, значит, CB=CL+LK+BK=7y, то есть CB/BK=7/1, подставляем в формулу:

S_ABC=(BC∙S_ABK)/BK= S_ABK∙(BC/BK)=17∙7=119.

Ответ. 119