B2. Функции и их свойства

Задание. Функция y=f(x) определена на множестве действительных чисел R, является четной и периодической с наименьшим положительным периодом T=22 и при xϵ[-11; 0] задается графиком (см. рисунок). Выберите три верных утверждения. 

1) Наименьшее значение функции равно 0.

      2)  f(61)=3.

      3) Функция принимает только отрицательные значения на промежутке (0; 8).

      4) Функция убывает на промежутке [4; 11].

      5) Функция имеет четыре нуля на промежутке [-9; 16].

      6)  f(-4)<f(2).

Анализ. Будем внимательны при записи ответа. Ответ записывайте строго в том виде, в каком это просят в задании! В задании есть подсказка о том, что верных ответа три. Для решения можно либо воспользоваться определением четной функции, либо понимать, что график четной функции симметричен относительно ось ординат и часть свойств функции исследовать по графику

Теория. Определением четной функции: f(-x)=f(x). T называется наименьшим положительным периодом функции, если для любого x из области ее определения верно f(x)=f(x+T)=f(x-T). Больше теории по функциям

Решение.

1)    Очевидно неверно, так как функция имеет значения, меньше чем 0 (-3 – наименьшее значение)

    2)    f(61)=f(61-22) =f(39-22)= f(17-22) =f(-5)=3 По определению наименьшего положительного периода функции), значит – верно.

  3)    По графику видно, что на промежутке
(0; 8) функция принимает только положительные значения, значит – неверно.

  4)    По графику видно, что на промежутке [4; 11] функция убывает, значит – верно.

      5)    По графику можно определить три нуля функции – это точки -8; 0; 8. Воспользовавшись определением наименьшего положительного периода определяем еще нули функции: -8+22=14; -8-22=-30; 0+22=22; 0-22=-22; 8+22=30; 8-22=-14. Получаем, на промежутке [-9; 16] нули функции: -8; 0; 8; 14. Значит, четыре нуля, и значит – верно. По идее в задании была подсказка, что верных три ответа и этого должно хватить, но на всякий случай, проверим последнее утверждение:

6)    Определяем по графику f(-4)=4 – это наибольшее значение функции и оно уже не может быть меньше какого-то другого, но найдем f(2)=f(-2)=4 это по определению четной функции, или же посмотреть f(2)=4 по графику. Получаем, f(-4)=f(2), то есть утверждение о том, что f(-4)<f(2) – неверно.

Ответ. 245