A18. Стереометрия

Задание. Длина основания правильной треугольной пирамиды равна 10, угол между плоскостью основания и боковой гранью равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Варианты ответов.

1)    10√6;

2)    25√6;

3)    25√2;

4)    50√3;

5)    50√6.

Теория. Правильная треугольная пирамида – это такая пирамида, у которой в основании лежит равносторонний треугольник, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Угол между плоскостью основания и боковой гранью – это угол между двумя плоскостями.

Решение. Для построения угла на прямой пересечения плоскостей (ребре основания) необходимо взять точку и построить перпендикуляры к этом ребру в каждой из плоскостей. Такой точкой может служить M – середина ребра BC. SM┴BC, так как треугольник SBC равнобедренный с основанием BC и M – середина основания, а значит, SM является не только медианой, но и высотой. Аналогично в равностороннем треугольнике ABC AM является медианой и высотой (либо по теореме о трех перпендикулярах). Получаем, угол SMA равен 45°. S_бок=3∙S_SBC. По условию длина основания правильной треугольной пирамиды равна 10. Пусть O – центр треугольника ABC, тогда OM – радиус вписанной окружности и OM=10√3/6=5√3/3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM, так как O – центр основания, а высота правильной пирамиды падает в центр основания. 

Ответ. 2