Перевод периодических дробей в обыкновенные дроби

Рассмотрим дробь 0,5(2). К слову, ни на одном из ЦТ прошлых лет не встречалось задание на перевод этой дроби в обыкновенную, однако именно такое задание попалось в прошлом году на выпускном экзамене для базового уровня. На ЦТ же встречались задания, где просто необходимо было знать, что 0,5(2)=0,5222222222...

При выполнении каких-либо арифметических действий с данной дробью, её сначала надо перевести в обыкновенную. Покажем, как это сделать.

Для начала убедимся, что любое число можно представить в виде суммы: 853=800+50+3; 3,15=3+0,1+0,05; 0,8536=0,8+0,05+0,003+0,0006.

Аналогично число 0,5(2)=0,522222222..=0,5+0,02+0,002+0,0002+0,00002+...

Легко заметить, что начиная со второго слагаемого у нас прослеживается некая закономерность, а именно, числа 0,02; 0,002; 0,0002; 0,00002 и т.д. составляют геометрическую прогрессию, т.к. каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, на 0,1. Для нахождения этого числа достаточно разделить любой член прогрессии на предыдущий, например, третий на второй 0,0002:0,002=0,1 или второй на первый: 0,002:0,02=0,1 (важно! для того, чтобы не совершить ошибок, при делении десятичных дробей обратите их в обыкновенные). Число 0,1 постоянно и называется знаменателем прогрессии и обозначается q. Т.к. |q|<1, а 0,1<1, то прогрессия называется бесконечно убывающей и можно найти ее сумму по формуле

Где b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель.

В нашем случае b1=0,02; q=0,1.

Находим 

Итак мы получаем, что 0,5(2)=0,5+0,02+0,002+0,0002+0,00002+...=0,5+2/90=47/90.

Т.е. 0,5(2)=47/90

Задание: самостоятельно перевести в обыкновенные дроби числа

0,(3)

0,2(6)

0,(18) Подсказка: 0,(18)=0,1818181818...=0,18+0,0018+0,000018+...

Внесение (вынесение) множителя из-под знака корня

Сегодня рассмотрим следующую тему: как вносить или выносить множитель из-под знака корня. Именно множитель (!!!) в предыдущей публикации были слагаемые - их никуда выносить нельзя. Я рассмотрю данную тему на примере квадратного корня, однако аналогичные преобразования могут быть выполнены с корнями любой четной степени.

Для начала разберем, что означают записи:

x>0 означает, что переменная x положительна;

x<0 означает, что переменная x отрицательна;

x≥0 означает, что переменная x неотрицательна;

x≤0 означает, что переменная x неположительна.

Никакой знак минус перед переменной не укажет вам на знак переменной! Запись -x>0 является всего лишь линейным неравенством с одной переменной, решая которое (умножаем обе части неравенства на -1, меняем знак неравенства на противоположный), получаем x<0, что говорит о том, что переменная отрицательна. 

Вынесение из-под знака корня.

Здесь нам пригодится уже знакомое тождество

Пример: Вынести множитель из-под знака корня:

Выполняем следующую цепочку преобразований, главная цель которой заключается в том, чтобы у максимального числа множителей под знаком корня выделить вторую степень (т.к. корень второй степени).

И сейчас нам нужно раскрыть знак модуля. С числом вопросов не возникает: |-3|=3, однако с переменной не все так однозначно. Для того, чтобы раскрыть модуль для переменной необходимо воспользоваться определением модуля и узнать, какой знак имеет переменная (положительна или отрицательна). Так как в тексте задания отсутствует условие, накладывающее ограничения на переменную, начинаем искать скрытые подсказки. И тут на помощь нам приходит естественная область определения данного выражения. Так как выражение под корнем всегда неотрицательно, а под корнем у нас остался x, накладываем условие: x≥0, это означает, что x^3≥0, а значит |x^3|=x^3:

Рассмотрим еще один пример:

Здесь нас не интересует знак переменной x, так как применимо равенство: 

Теперь о внесении под знак корня.

Пример: внести под знак корня

Так как вносить под корень четной степени можно только неотрицательный множитель, необходимо определить знак выражения -2b. Для этого рассмотрим естественную область определения: b^3≥0, значит b≥0, а значит -2b≤0. Получили, что множитель перед знаком корня отрицательный, поэтому знак минус оставляем перед корнем, внося под корень положительный множитель:

 Внести под знак корня

Естественная область определения: -a≥0, значит a≤0, а значит 3a≤0. Множитель перед знаком корня отрицательный, поэтому знак минус оставляем перед корнем, внося под корень положительный множитель:

 Внести под знак корня

Естественная область определения: a-5≥0, значит 5-a≤0. Множитель перед знаком корня отрицательный, поэтому знак минус оставляем перед корнем, внося под корень положительный множитель:

Извлечение квадратного корня из суммы или разности

При работе с иррациональными числами наибольшие затруднения возникают в случае, когда необходимо извлечь корень из суммы или разности двух чисел: чаще одного рационального, а другого - иррационального. Рассмотрим на примере:

Так как отсутствует формула, позволяющая разбить данный корень на разность двух корней, 

мы воспользуемся следующими формулами: 

 и

Таким образом, выделив под корнем три слагаемых и свернув их в формулу квадрата разности (в нашем случае), извлечем корень из квадрата, что упростит дальнейшие вычисления.

Итак, начнем с иррационального числа, в нашем случае это -16√3. То, что число отрицательное, показывает нам, что сворачивать будем в квадрат разности. Число -16√3 содержит в себе удвоенное произведение двух чисел. Т.е. -16√3=-2ab. Это означает, что ab=8√3. Переберем все возможные варианты:

1. 8√3=8*√3;
2. 8√3=2*4√3;
3. 8√3=4*2√3;
4. 8√3=1*8√3.

Для формулы необходимо к удвоенному произведению добавить сумму квадратов выражений a и b. Выполним это для каждого из вариантов и определим, в каком из случаев сумма будет составлять 28, чего требует условие.

1. -2*8*√3+64+3=67-16√3;
2. -2*2*4√3+4+48=52-16√3;
3. -2*4*2√3+16+12=28-16√3;
4. -2*1*8√3+1+192=193-16√3.

Получается, что нам подходит третий случай, в котором выражение 28-16√3 раскладывается в формулу квадрата разности двух выражений: 4 и 2√3. Свернем по формуле и продолжим вычисления: 

Теперь необходим раскрыть модуль, используя определения модуля. Для этого нужно определить знак подмодульного выражения. Т.к. 4>2√3 (чтобы узнать, какое число больше, можно просто возвести оба этих числа в квадрат. И т.к. квадрат 4 равен 16, а квадрат 2√3 равен 12 и 16>12, то и 4>2√3), то модуль раскрывается с тем же знаком, т.е. |4-2√3|=4-2√3.

Для закрепления данной темы предлагаю вам самостоятельно извлечь корень из следующих выражений: 

Построение графиков функций, используя правила преобразования

Изучив соответствующую теорию, приступим к выполнению практических заданий.

Задание: построить график функции:

Самое главное, что необходимо сделать - построить цепочку преобразований функций: от некоторой элементарной функции до необходимой по заданию. И тут - ВНИМАНИЕ! - никакой связи между порядком действий и необходимыми преобразованиями нет! Из правил преобразования видно, что они позволяют нам действовать либо на всю функцию, либо только на аргумент - x, поэтому каждый раз, выполняя преобразование, вы должны спрашивать у себя: "на что я действую - на всю функцию или только на аргумент?".

1. Выбираем элементарную функцию:

Ее график выглядит так:

2. Далее начинаем преобразования. Это может быть модуль, который действует на аргумент или параллельный перенос на 2 единицы вправо, однако во втором случае следующим шагом необходимо будет действовать модулем на x-2, что выполнить нельзя, т.к. действовать можно либо на всю предыдущую функцию, либо только на аргумент. Поэтому вторым преобразованием строим функцию

Правую часть оставляем неизменной и ее же отображаем симметрично влево:

3. А вот теперь можем отнять 2 от аргумента, получим график функции

сдвинув параллельно оси Оx на 2 единицы вправо каждую точку предыдущего графика:

4. Теперь отнимем единицу от всей предыдущей функции: 

Параллельный перенос вдоль оси Oy на 1 единицу вниз: 

5. Действуем модулем на всю функцию:

Часть, которая находится выше оси Ox оставляем неизменной, а часть, которая ниже - отображаем симметрично вверх:

6. Ну и последний шаг, прибавляем 4 ко всей предыдущей функции: 

Поднимаем каждую точку вверх на 4 единицы. Получаем необходимый график: 

Рассмотрим еще один интересный, на мой взгляд, пример: построить график функции 

1. Шаг 1 аналогичен предыдущему примеру: элементарная функция остается та же.

2. Действуем на аргумент в предыдущей функции, отнимая от него единицу:

3. Действуем на аргумент, смотрим на правило построения графика функции y=f(-x)

4. Теперь действуем модулем на аргумент: 

Однако, для построения такого графика, необходимо без изменения оставить ту часть графика, которая располагается правее оси Ох и ее же отобразить симметрично влево, но весь наш график располагается левее оси, что означает, что графика данной функции не существует.

Теперь предлагаю вам самостоятельно построить графики следующих функций:

Преобразования графиков функций.

Профильная программа 10 класса включает в себя такую интересную ему, как преобразования графиков функций. Для начала немного несложной теории.

Будем работать с графиком некоторой функции y=f(x).

• Для того, чтобы получить график функции y=f(x)+b, необходимо каждую точку исходного графика перенести на |b| единиц вверх вдоль оси OY, при b>0 и на |b| единиц вниз вдоль оси OY, если b<0.
• Для того, чтобы получить график функции y=f(x+a), необходимо каждую точку исходного графика перенести на |a| единиц влево вдоль оси OX, при a>0 и на |a| единиц вправо вдоль оси OX, если a<0.
• Для того, чтобы получить график функции y=-f(x), необходимо каждую точку исходного графика отобразить симметрично относительно оси OX.
• Для того, чтобы получить график функции y=f(-x), необходимо каждую точку исходного графика отобразить симметрично относительно оси OY.
• Для того, чтобы получить график функции y=kf(x), необходимо каждую точку исходного графика растянуть в k раз вдоль оси OY, это означает, что из точки (x, y) получится точка (x, ky).
• Для того, чтобы получить график функции y=f(kx), необходимо каждую точку исходного графика сжать в k раз вдоль оси OX, это означает, что из точки (x, y) получится точка (x/k, y).
• Для того, чтобы получить график функции y=\f(x)\, необходимо ту часть графика y=f(x), которая находится на и выше оси OY оставить без изменения, а часть, которая располагается ниже оси OY, отобразить вверх,  симметрично относительно оси OX.
• Для того, чтобы получить график функции y=f(\x\), необходимо ту часть графика y=f(x), которая находится на и правее оси OX оставить без изменения и ее же отобразить симметрично относительно оси OY влево, а часть, которая располагается левее оси OX, не рассматриваем. Внимание! Данная функция всегда будет четная, что очевидно из построения.

А теперь перейдем к практике

Построение сечений многогранников

Всем здравствуйте. Опустим мои поздравления с новым учебным годом и пожелания успехов в учебе. Поступим так же, как поступили учителя 10-х классов: разберем сразу же самую сложную тему не только в 10 классе, но и вообще в школьной математике - более того, любимой всеми геометрии и, в частности, стереометрии. Будет все и сразу.

Изучив аксиомы стереометрии и следствия из них, попробуем построить сечение многогранника.

Итак задача, которую я взяла из 2 этапа репетиционного тестирования прошлого года. Дан куб. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки M, N и C, где M - середина ребра A1B1, N - середина ребра AD.

В самом начале нужно обратиться к некоторым понятиям и разграничить четко: чем отличается понятие "грань многогранника" от понятия "плоскость, содержащая грань многогранника", а так же "сечение" от понятия "секущая плоскость".

Грань - это часть плоскости, ограничивающая многогранник, т.е. грань куба - это всегда квадрат, например, грань ABCD, в то время, как плоскость бесконечна и для ее задания достаточно назвать три буквы (обращаемся к первой аксиоме стереометрии). Плоскость, содержащая грань ABCD может быть задана любыми тремя точками, не лежащими на одной прямой, например, плоскость ABC или ACD.

Аналогично разграничим понятия "секущая плоскость" и "сечение".

Плоскость - бесконечна, а сечение - это n-угольник, полученный в результате пересечения секущей плоскости с гранями многогранника. Говоря более простым и понятным языком, сечение - это срез многогранника. Будто разрезать наш многогранник ножом и посмотреть, что получится на срезе. Поэтому для построения сечения необходимо найти прямые, по которым секущая плоскость пересекает плоскости, содержащие грани многогранника и взять отрезки, находящиеся в гранях, концы которых лежат на ребрах многогранника. (Выучите и разберитесь в понятиях ребро, грань и вершина многогранника).

1. Первое, с чем справляется большинство учеников - это найти точки, лежащие в одной плоскости - это точки C и N. Так как обе точки лежат в одной плоскости, то и вся прямая CN лежит в плоскости ABC. Соединяем их. Получаем, что секущая плоскость пересекает плоскость ABC по прямой NC. Тогда отрезок NC - сторона сечения, лежащая в грани ABCD.

И вот здесь многие ученики испытывают самое большое затруднение: а дальше что? Можно ли соединить точки M и N? НЕТ!!! Эти точки не лежат ни в одной из плоскостей, содержащих грань куба, поэтому прямая MN будет лежать в плоскости сечения, но не будет являться стороной сечения, соответственно никак не приблизит нас к решению поставленной задачи.

2. Задаем себе вопрос: в плоскости какой грани лежат прямые, содержащие стороны сечения? Отвечаем: прямая NC лежит в плоскости грани ABCD.

3. Вопрос: какие прямые, содержащие ребра многогранника пересекает эта прямая? Ответ: прямую AB, так как прямые AB и MN лежат в плоскости ABC. Они пересекаются в точке X.

4. Так как точка X принадлежит прямой AB, а прямая AB помимо плоскости ABC, содержится в плоскости ABB1, то точка X так же находится в плоскости ABB1. В плоскости ABB1 по условию. находится точка M, поэтому соединяем эти две точки, так как они лежат в одной грани.  Однако, точка X не содержится в грани ABB1A1, так как выходит за ее границы. Поэтому нас интересует, какая точка будет ограничивать сечение в грани ABB1A1 - это точка пересечения прямой MX с ребром AA1 (они пересекаются, так как лежат в одной плоскости). Построили точку P.

5. Точки P и N лежат в грани ADD1A1, поэтому соединяем их и получаем сторону сечения NP. 

6.Теперь мы снова вернулись к ситуации, когда не знаем как быть дальше, потому что точки M и C не лежат в одной грани, а значит, и соединять их нельзя. Возвращаемся к пункту 2 и задаем себе тот же вопрос: в плоскости какой грани лежат прямые, содержащие стороны сечения? Отвечаем: прямая PM лежит в плоскости грани ABB1A1.

7. Вопрос: какие прямые, содержащие ребра многогранника пересекает эта прямая? Ответ: прямую BB1, так как прямые PM и BB1 лежат в плоскости ABB1. Они пересекаются в точке Y. 

8. Так как точка Y принадлежит прямой BB1, а прямая BB1 помимо плоскости ABB1, содержится в плоскости BCC1, то точка Y так же находится в плоскости BCC1. В плоскости BCC1 по условию. находится точка C, поэтому соединяем эти две точки, так как они лежат в одной грани.  Однако, точка Y не содержится в грани BCC1B1, так как выходит за ее границы. Поэтому нас интересует, какая точка будет ограничивать сечение в грани BCC1B1 - это точка пересечения прямой CY с ребром B1C1 (они пересекаются, так как лежат в одной плоскости). Построили точку Q.

9. Соединяем точки M и Q, так как они находятся в плоскости сечения и обе лежат в грани A1B1C1D1.

10. Получили отрезки пересечения секущей плоскости с каждой из граней куба, значит построили искомое сечение NPMQC.

Кстати, в репетиционном тестировании был вопрос - какая фигура является сечением. И теперь очевидно, что правильный ответ - пятиугольник.