Построение графиков функций, используя правила преобразования

Изучив соответствующую теорию, приступим к выполнению практических заданий.

Задание: построить график функции:

Самое главное, что необходимо сделать - построить цепочку преобразований функций: от некоторой элементарной функции до необходимой по заданию. И тут - ВНИМАНИЕ! - никакой связи между порядком действий и необходимыми преобразованиями нет! Из правил преобразования видно, что они позволяют нам действовать либо на всю функцию, либо только на аргумент - x, поэтому каждый раз, выполняя преобразование, вы должны спрашивать у себя: "на что я действую - на всю функцию или только на аргумент?".

1. Выбираем элементарную функцию:

Ее график выглядит так:

2. Далее начинаем преобразования. Это может быть модуль, который действует на аргумент или параллельный перенос на 2 единицы вправо, однако во втором случае следующим шагом необходимо будет действовать модулем на x-2, что выполнить нельзя, т.к. действовать можно либо на всю предыдущую функцию, либо только на аргумент. Поэтому вторым преобразованием строим функцию

Правую часть оставляем неизменной и ее же отображаем симметрично влево:

3. А вот теперь можем отнять 2 от аргумента, получим график функции

сдвинув параллельно оси Оx на 2 единицы вправо каждую точку предыдущего графика:

4. Теперь отнимем единицу от всей предыдущей функции: 

Параллельный перенос вдоль оси Oy на 1 единицу вниз: 

5. Действуем модулем на всю функцию:

Часть, которая находится выше оси Ox оставляем неизменной, а часть, которая ниже - отображаем симметрично вверх:

6. Ну и последний шаг, прибавляем 4 ко всей предыдущей функции: 

Поднимаем каждую точку вверх на 4 единицы. Получаем необходимый график: 

Рассмотрим еще один интересный, на мой взгляд, пример: построить график функции 

1. Шаг 1 аналогичен предыдущему примеру: элементарная функция остается та же.

2. Действуем на аргумент в предыдущей функции, отнимая от него единицу:

3. Действуем на аргумент, смотрим на правило построения графика функции y=f(-x)

4. Теперь действуем модулем на аргумент: 

Однако, для построения такого графика, необходимо без изменения оставить ту часть графика, которая располагается правее оси Ох и ее же отобразить симметрично влево, но весь наш график располагается левее оси, что означает, что графика данной функции не существует.

Теперь предлагаю вам самостоятельно построить графики следующих функций:

Преобразования графиков функций.

Профильная программа 10 класса включает в себя такую интересную ему, как преобразования графиков функций. Для начала немного несложной теории.

Будем работать с графиком некоторой функции y=f(x).

• Для того, чтобы получить график функции y=f(x)+b, необходимо каждую точку исходного графика перенести на |b| единиц вверх вдоль оси OY, при b>0 и на |b| единиц вниз вдоль оси OY, если b<0.
• Для того, чтобы получить график функции y=f(x+a), необходимо каждую точку исходного графика перенести на |a| единиц влево вдоль оси OX, при a>0 и на |a| единиц вправо вдоль оси OX, если a<0.
• Для того, чтобы получить график функции y=-f(x), необходимо каждую точку исходного графика отобразить симметрично относительно оси OX.
• Для того, чтобы получить график функции y=f(-x), необходимо каждую точку исходного графика отобразить симметрично относительно оси OY.
• Для того, чтобы получить график функции y=kf(x), необходимо каждую точку исходного графика растянуть в k раз вдоль оси OY, это означает, что из точки (x, y) получится точка (x, ky).
• Для того, чтобы получить график функции y=f(kx), необходимо каждую точку исходного графика сжать в k раз вдоль оси OX, это означает, что из точки (x, y) получится точка (x/k, y).
• Для того, чтобы получить график функции y=\f(x)\, необходимо ту часть графика y=f(x), которая находится на и выше оси OY оставить без изменения, а часть, которая располагается ниже оси OY, отобразить вверх,  симметрично относительно оси OX.
• Для того, чтобы получить график функции y=f(\x\), необходимо ту часть графика y=f(x), которая находится на и правее оси OX оставить без изменения и ее же отобразить симметрично относительно оси OY влево, а часть, которая располагается левее оси OX, не рассматриваем. Внимание! Данная функция всегда будет четная, что очевидно из построения.

А теперь перейдем к практике

Построение сечений многогранников

Всем здравствуйте. Опустим мои поздравления с новым учебным годом и пожелания успехов в учебе. Поступим так же, как поступили учителя 10-х классов: разберем сразу же самую сложную тему не только в 10 классе, но и вообще в школьной математике - более того, любимой всеми геометрии и, в частности, стереометрии. Будет все и сразу.

Изучив аксиомы стереометрии и следствия из них, попробуем построить сечение многогранника.

Итак задача, которую я взяла из 2 этапа репетиционного тестирования прошлого года. Дан куб. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки M, N и C, где M - середина ребра A1B1, N - середина ребра AD.

В самом начале нужно обратиться к некоторым понятиям и разграничить четко: чем отличается понятие "грань многогранника" от понятия "плоскость, содержащая грань многогранника", а так же "сечение" от понятия "секущая плоскость".

Грань - это часть плоскости, ограничивающая многогранник, т.е. грань куба - это всегда квадрат, например, грань ABCD, в то время, как плоскость бесконечна и для ее задания достаточно назвать три буквы (обращаемся к первой аксиоме стереометрии). Плоскость, содержащая грань ABCD может быть задана любыми тремя точками, не лежащими на одной прямой, например, плоскость ABC или ACD.

Аналогично разграничим понятия "секущая плоскость" и "сечение".

Плоскость - бесконечна, а сечение - это n-угольник, полученный в результате пересечения секущей плоскости с гранями многогранника. Говоря более простым и понятным языком, сечение - это срез многогранника. Будто разрезать наш многогранник ножом и посмотреть, что получится на срезе. Поэтому для построения сечения необходимо найти прямые, по которым секущая плоскость пересекает плоскости, содержащие грани многогранника и взять отрезки, находящиеся в гранях, концы которых лежат на ребрах многогранника. (Выучите и разберитесь в понятиях ребро, грань и вершина многогранника).

1. Первое, с чем справляется большинство учеников - это найти точки, лежащие в одной плоскости - это точки C и N. Так как обе точки лежат в одной плоскости, то и вся прямая CN лежит в плоскости ABC. Соединяем их. Получаем, что секущая плоскость пересекает плоскость ABC по прямой NC. Тогда отрезок NC - сторона сечения, лежащая в грани ABCD.

И вот здесь многие ученики испытывают самое большое затруднение: а дальше что? Можно ли соединить точки M и N? НЕТ!!! Эти точки не лежат ни в одной из плоскостей, содержащих грань куба, поэтому прямая MN будет лежать в плоскости сечения, но не будет являться стороной сечения, соответственно никак не приблизит нас к решению поставленной задачи.

2. Задаем себе вопрос: в плоскости какой грани лежат прямые, содержащие стороны сечения? Отвечаем: прямая NC лежит в плоскости грани ABCD.

3. Вопрос: какие прямые, содержащие ребра многогранника пересекает эта прямая? Ответ: прямую AB, так как прямые AB и MN лежат в плоскости ABC. Они пересекаются в точке X.

4. Так как точка X принадлежит прямой AB, а прямая AB помимо плоскости ABC, содержится в плоскости ABB1, то точка X так же находится в плоскости ABB1. В плоскости ABB1 по условию. находится точка M, поэтому соединяем эти две точки, так как они лежат в одной грани.  Однако, точка X не содержится в грани ABB1A1, так как выходит за ее границы. Поэтому нас интересует, какая точка будет ограничивать сечение в грани ABB1A1 - это точка пересечения прямой MX с ребром AA1 (они пересекаются, так как лежат в одной плоскости). Построили точку P.

5. Точки P и N лежат в грани ADD1A1, поэтому соединяем их и получаем сторону сечения NP. 

6.Теперь мы снова вернулись к ситуации, когда не знаем как быть дальше, потому что точки M и C не лежат в одной грани, а значит, и соединять их нельзя. Возвращаемся к пункту 2 и задаем себе тот же вопрос: в плоскости какой грани лежат прямые, содержащие стороны сечения? Отвечаем: прямая PM лежит в плоскости грани ABB1A1.

7. Вопрос: какие прямые, содержащие ребра многогранника пересекает эта прямая? Ответ: прямую BB1, так как прямые PM и BB1 лежат в плоскости ABB1. Они пересекаются в точке Y. 

8. Так как точка Y принадлежит прямой BB1, а прямая BB1 помимо плоскости ABB1, содержится в плоскости BCC1, то точка Y так же находится в плоскости BCC1. В плоскости BCC1 по условию. находится точка C, поэтому соединяем эти две точки, так как они лежат в одной грани.  Однако, точка Y не содержится в грани BCC1B1, так как выходит за ее границы. Поэтому нас интересует, какая точка будет ограничивать сечение в грани BCC1B1 - это точка пересечения прямой CY с ребром B1C1 (они пересекаются, так как лежат в одной плоскости). Построили точку Q.

9. Соединяем точки M и Q, так как они находятся в плоскости сечения и обе лежат в грани A1B1C1D1.

10. Получили отрезки пересечения секущей плоскости с каждой из граней куба, значит построили искомое сечение NPMQC.

Кстати, в репетиционном тестировании был вопрос - какая фигура является сечением. И теперь очевидно, что правильный ответ - пятиугольник.

каникулы

Состоялось последнее занятие в 2016/17 учебном году, а вчера прошел и сам тест. Все мои ученики очень усердно потрудились, поэтому и отзывы о тесте были весьма положительны. Осталось дождаться результатов и можно будет подводить итоги.

А я, вместе со своими невыпускными учениками, ухожу на летние каникулы до сентября! Всем нужно хорошенько отдохнуть. Для желающих начать работать со мной в сентябре, просьба связаться любым удобным для вас способом.

Обо мне

Здравствуйте! Приветствую вас в моем блоге, посвященном математике и помощи в ее изучении. Не важно, собираетесь ли вы сотрудничать со мной, либо же просто вас заинтересовала какая-то информация - я рада видеть здесь всех!

Меня зовут Анисимова Ольга Сергеевна. Родилась в Новополоцке - здесь, а так же в Полоцке прошло мое детство - я училась в СШ №6 г. Новополоцка (нынче - гимназия №1), СШ №10 г. Полоцка и Полоцкой национальной гимназии (нынче - Полоцкая государственная гимназия №1 им. Ф. Скорины). Я училась у таких замечательных учителей как Ермолович Евгений Мечиславович - который и привил мне любовь к математике навсегда, Бойченко Марии Ромуальдовны и Калинцевой Тамары Зиновьевны. Но самым моим любимым учителем, ровно как и самым строгим и требовательным, была и остается моя бабушка, Озерникова Нина Владимировна. На ее примере я не только научилась преподавать математику (ведь у нее, дочери заслуженных учителей БССР, Озерникова Владимира Константиновича и Озерниковой (Вышинской) Татьяны Ивановны - всегда был полон дом учеников, даже выйдя на пенсию она не оставляет любимое дело, и в свои почти 90 лет помогает уже внукам своих благодарных учеников), но так же моя бабушка показала мне, что без математики наша жизнь скучна, что только в каждодневных упражнениях, нахождении интересных решений, нестандартных приемах обучения и передачи знаний мы можем прогрессировать как учителя, и как личности...

С выбором будущей профессии я определилась классе в 6 - точно помню, как в местной газете в выпуске, посвященном к бабушкиному юбилею, было написано о том, что и внучка мечтает стать учителем. Мечты быстро преобразовались в планы, и после окончания школы я поступила в Витебский государственный университет имени П. М. Машерова на математический факультет на специальность "Математика. Информатика". Учеба давалась очень легко, у меня всегда оставалось много свободного времени и даже тренировки по баскетболу в факультетской команде не заполняли его - и тогда, на третьем курсе я нашла своего первого ученика. Сейчас, по прошествии времени, я понимаю, насколько важны те занятия были для меня - в плане методики преподавания, поиске индивидуального подхода к ученику, объяснения материала и восполнения пробелов в знаниях (и моих тоже!). Успех ученика был очевиден, "сарафанное радио" работало безотказно, все свое свободное время я заполнила занятиями, в университете же углубилась в методику преподавания математики, стала работать с профессором Семеновым Ефимом Евстафьевичем, написала у него сначала курсовой проект, потом успешно защитила и дипломный, параллельно написала несколько научных статей. 

Распределение после окончания университета было таким, что и мечтать было страшно: я вернулась домой, в Новополоцк - и не просто в школу - я стала работать в Полоцком государственном университете на кафедре высшей математики, вела практические занятия по высшей математике, теории вероятностей, параллельно с этим училась заочно в магистратуре Витебского государственного университета, изучала группы Фитинга у профессора Воробьева Николая Тимофеевича. Все было прекрасно, передо мной открывались очень радужные перспективы.

Но в один прекрасный момент, я как раз окончила магистратуру, мне предложили поработать дополнительно на факультете довузовской подготовки, вести курсы для подготовки к централизованному тестированию. Наверно, это был знак свыше: то, с какой радостью я готовилась к занятиям, как составляла планы, подбирала задачи, анализировала тестовые задания прошлых лет, все это стало явно переломным моментом в моей профессиональной деятельности. И ничто - даже то, что на тот момент я уже поступила в аспирантуру, то, что по совместительству работала в педагогическом колледже - ничто это не помешало мне бросить в один момент все и заняться любимым делом: я даю свои знания ученикам! Помогаю тем, кто действительно хочет добиться высоких результатов в математике: будет ли это годовая оценка, либо же целью поставлен хороший балл на ЦТ - у нас общие цели с моими учениками, их победы, ровно как и неудачи я переживаю как свои собственные, хотя побед у нас гораздо больше!

Сейчас подходит к завершению уже третий год, когда я сосредоточилась исключительно на индивидуальных и групповых занятиях, у нас есть определенные успехи, которыми можно похвалиться, однако с каждым годом моих целей становится все больше и больше. Главный принцип моих занятий - взаимодействие ученик-репетитор-родители. Только в такой связке можно добиться максимальных успехов, только когда каждое звено этой цепи хочет видеть результаты работы - они не заставят себя долго ждать. На занятиях я придерживаюсь концепции репетитор-друг и помощник, добиваюсь от своих учеников рассуждений вслух, предлагаю ученику самостоятельно проанализировать ход решения, найти ошибку, если таковая имеется. Конечно без крови, но с потом, а иногда и слезами, проходят наши уроки, но это все приятные рабочие моменты, ведь мои ученики стали студентами столичных ВУЗов, некоторые уехали в Санкт-Петербург, кто-то решил остаться дома и поступить в университет здесь, но мне всегда приятно встречать их уже такими взрослыми, когда мы смеясь, вспоминаем те самые приятные рабочие моменты...

Если вы так же намерены поработать со мной - можете связаться через соц сеть Вконтакте, я всегда открыта к сотрудничеству и буду рада помочь вам!

Набор на 2017-18 учебный год

Внимание! Открыт набор учеников для подготовки к централизованному тестированию в 2017-18 учебном году. Групповое занятие (5 учеников) продолжительностью 180 минут будет проходить по воскресеньям, начало занятий в сентябре. В связи с тем, что набор строго ограничен, просьба желающих связаться со мной как можно раньше. Сделать это можно по телефону +375-29-552-16-08 (МТС), либо через социальную сеть Вконтакте.