B5. Стереометрия

 Задание. Найдите площадь полной поверхности куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если расстояние от точки C до плоскости B₁AD₁ равно 4√3.

Решение

Для быстрого решения задачи очень важно знать формулы!!!

Фактически, в задаче нам дана высота тетраэдра CAD₁B₁, у которого все ребра равны диагоналям граней куба. Поэтому, пусть ребро куба a, тогда диагональ грани куба (ребро тетраэдра a√2). Выразим через a высоту тетраэдра

Треугольники D₁AB₁ и CAB₁ – равносторонние со стороной a√2, тогда CN как высота, биссектриса и медиана равностороннего треугольника равна (a√2√3)/2=(a√6)/2, а ON как радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности (a√2√3)/6=(a√6)/6. Далее связываем теоремой Пифагора для треугольника CON:

(4√3)²+(a√6/6)²=(a√6/2)²
48+a²/6=3a²/2
9a²/6-a²/6=48
8a²/6=48
a²=36
a=6

Значит, ребро куба равно 6, тогда площадь полной поверхности 6∙36=216

Ответ. 216