B11. Текстовая задача

Задание. Два мотоциклиста выехали одновременно из одного пункта и едут в одном направлении. Первый мотоциклист едет со скоростью 52 км/ч, а скорость второго на 8 км/ч больше скорости первого. Через 30 минут из этого же пункта в этом же направлении выехал третий мотоциклист, который обогнал второго на 4 часа позже, чем первого. Найдите скорость (в км/ч) третьего велосипедиста.

Решение

Скорость второго мотоциклиста 52+8=60 км/ч, 30 мин = ½ ч

Пусть скорость третьего мотоциклиста x км/ч и он догнал первого через t часов после начала движения первого и второго мотоциклистов, тогда первый к моменту встречи проехал 52t км, а третий – x(t-1/2) км. Эти расстояния равны, поэтому первое уравнение: 52t=x(t-1/2). Аналогично составляем второе уравнение. К моменту встречи второго и третьего мотоциклистов второй проехал 60(t+4) км, а третий x(t+4-1/2) км. Получаем уравнение: 60(t+4)= x(t+4-1/2). Далее решаем систему уравнений, причем выражаем t через x, так как x нужно найти в задаче:

По условию задачи ответ, равный 48 км/ч не подходит по смыслу. Иначе, мотоциклист, имеющий скорость 48 км/ч не обогнал бы мотоциклистов, имеющих скорость 52 км/ч и 60 км/ч. Поэтому подходит ответ, раный 65.

Ответ. 65

B10. Уравнение с модулем

Задание. Найдите увеличенную в 12 раз сумму корней уравнения

Решение.

Делаем обратную замену:

Увеличенная в 12 раз сумма корней 12(4+1-1/3)=12∙4+12∙1-4=48+12-4=56

Ответ. 56

B9. Правильная пирамида

Задание. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если длина диагонали еее основания равна 2√2 и плоский угол при вершине равен 2arctg(1/9).

Решение

S_бок=1/2P_осн∙l (l – апофема). Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, длдина его диагонали по условию 2√2, так как d=a√2 (a – сторона квадрата), то сторона основания равна 2. Тогда периметр основания равен 8. Боковая грань BSC является равнобедренным треугольником, апофема SF служит медианой, высотой и биссектрисой, значит ےBSC=2ےFSC, тогда ےFSC=arctg(1/9). Из прямоугольного треугольника FSC с катетом FC=1/2BC=1 и острым углом ےFSC=arctg(1/9) находим второй катет SF=9. То есть апофема пирамиды равна 9. Далее находим площадь боковой поверхности

S_бок=1/2P_осн∙l =1/2∙8∙9=36.

Ответ. 36

B8. Задача на арифметическую прогрессию

Задание. Найдите сумму первых пятидесяти натуральных чисел, больших 8, которые при делении на 4 дают в остатке 2.
Теория тут

Решение.

Любое натуральное число, кратное 4 (делится на 4 без остатка) можно записать в виде 4n, где n – натуральное. Число, записанное в виде 4n+2 при делении на 4 будет давать в остатке 2. Действительно, 4∙1+2=6 при делении на 4 дает в остатке 2, число 4∙2+2=10 при делении на 4 дает в остатке 2, число 4∙3+2=14 при делении на 4 дает в остатке 2. Причем, эти все числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 4 (каждое следующее, начиная со второго, больше предыдущего на 4). Первое число, удовлетворяющее условию, что числа должны быть больше 8, - число 10. Далее находим сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии с первым членом 10 и разностью 4:

Ответ. 5400

B7. Площадь параллелограмма

Задание. Длина одной из сторон параллелограмма равна длине его диагонали и равна 7, длина второй диагонали равна √57. Найдите значение выражения S², где S – площадь параллелограмма.

Решение

По свойству диагоналей параллелограмма, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, значит, CO=(√57)/2, OD=7/2. По теореме косинусов из ΔCOD

Теперь, основываясь на основное тригонометрическое тождество, найдем:

Находим S(ΔCOD)

Так как CO является медианой треугольника BDC, а медиана разбивает треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника, то S(ΔBDC)=2∙2√3=4√3. А площадь параллелограмма равна 2∙4√3=8√3.

S²=(8√3)²=64∙3=192.

Ответ. 192

B6. Дробно-рациональное неравенство (область определения функции)

Задание. Найдите сумму всех целых чисел из области определения функции

Теория   тут

Решение

Сумма целых решений -8-7-6-5-3-2-1+0+1=-31

Ответ. -31

B5. Правильный многоугольник

Задание. Длина стороны правильного n-угольника A₁A₂…A_n равна 12. Угол A₁OA₂=45°, где O – центр описанной около многоугольника окружности. Найдите периметр многоугольника.

Теория

Угол правильного n-угольника находим по формуле

Решение

Узнав количество сторон (n), найдем периметр. Для нахождения количества сторон, найдем угол n-угольника. По условию, Угол A₁OA₂=45°, а поскольку, Δ A₁OA₂ – равноберенный, то угол при основании равен (180-45)/2=135/2, тогда каждый внутренний угол многоугольника равен 135°. Теперь, подставив в формулу, найдем количество сторон этого многоугольника

Значит, количество сторон 8, тогда периметр равен 8∙12=96

Ответ. 96

B4. Иррациональное уравнение

Задание. Найдите произведение корней уравнения

Теория Тут

Анализ. Изначально простейшее уравнение типа I, далее – простейшее уравнение типа III.

Решение

Произведение корней уравнения -√8∙√8=-8

Ответ. -8

B3. Текстовая задача на проценты

Задание. В двух коробках 72 конфеты. Если из первой переложить во вторую 15 конфет, то в первой коробке их останется в три раза меньше, чем станет во второй. На сколько процентов p конфет было меньше в первой коробке, чем во второй первоначально? В ответ запишите значение выражения 13p.

Анализ. Задача с несколькими неизвестными величинами – будем вводить переменную. Аккуратно с ответом на вопрос задачи: после того, как найдем первоначальное количество конфет в каждой коробке, за 100% принимаем количество конфет во второй коробке, так как сравниваюти менно с ней.

Решение

Пусть в первой колобке было x конфет, тогда во второй 72-x. Внесем данные в таблицу:

	Было	Переложили	Стало
I	x	-15	x-15
II	72-x	+15	72-x+15

Зная, что в первой коробке их останется в три раза меньше, чем станет во второй, то есть выражение (x-15) меньше, чем (72-x+15) в 3 раза, составляем уравнение:

3(x-15)=(72-x+15)
3x-45=87+x
3x+x=87+45
4x=132
x=33

Значит, в первой коробке было 33 конфет, а во второй 72-33=39. В первой короке изначально было на 6 конфет меньше, чем во второй, что составляет 6/39∙100%=2/13∙100%, значит, p=2/13∙100%, тогда 13p=200.

Ответ. 200

B2. Свойства функции

Задание. Выберите три утверждения, которые являются свойствами нечетной функции y=f(x), определенной на промежутке [-7; 7]. График функции f(x) при x≥0 изображен на рисунке. 

1	Наибольшее значение функции на промежутке [-7; 7] равно 4.
2	Функция возрастает на промежутке [-2,5; -1].
3	Число -5 является нулем функции
4	График функции симметричен относительно оси ординат Oy.
5	f(-3)=5
6	f(-6)>f(-2)

Теория тут

Решение.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (значит, утверждение 4 не верно) поэтому, изобразив график функции на промежутке [-7; 7] определим, какие из остальных утверждений верны:

1.     Не верно, так как есть значения функции, больше 4.

2.     Верно (см. рисунок)

3.     Верно (см. рисунок)

4.     Не верно

5.     Не верно, f(-3)<0

6.     Верно, так как f(-6)>0, f(-2)<0, значит, f(-6)>f(-2).

Ответ. 236