А20. Стереометрия (развертка)

Задание. На рисунках 1 и 2 изображены прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ с основанием ABCD и его развертка. Найдите длину ломаной B₁D₁KB, если ےC₁B₁D₁=60°, CD=9 и точки B₁, D₁, K и B лежат на одной прямой.

Варианты ответов:

1)    27;

2)    27√2;

3)    81√3/2;

4)    12√3+6;

5)    12√3+9.

Теория может пригодиться

Решение

Длину отрезка B₁D₁ найдем из прямоугольного треугольника B₁C₁D₁, у которого C₁D₁=CD=9, ےC₁B₁D₁=60° по условию, значит, sin( ےC₁B₁D₁)=C₁D₁/B₁D₁, откуда B₁D₁=C₁D₁/sin ےC₁B₁D₁=9/(√3/2)=18/√3=6√3, B₁C₁=3√3 как катет, лежащий против угла в 30°.

Далее, так как точки B₁, D₁, K и B лежат на одной прямой, то ےAKB=ےC₁B₁D₁=60° как соответственные при AA₁||CB₁ и секущей BB₁, а ےAKB=ےD₁KA₁ как вертикальные.

Длину D₁K найдем из прямоугольного треугольника D₁KA₁, у него D₁A₁= B₁C₁=3√3, ےD₁KA₁=60°, значит sin( ےA₁KD₁)=A₁D₁/KD₁, откуда KD₁=A₁D₁/sin 60°=(3√3)/(√3/2)=6.

Длину BK найдем из прямоугольного треугольника BKA, у него AB= CD=9, ےAKB=60°, значит sin( ےAKB)=AB/KB, откуда KB=AB/sin 60°=9/(√3/2)=6√3.

Длина ломаной B₁D₁KB=B₁D₁+D₁K+KB=6√3+6+6√3=12√3+6.

Ответ. 4

A19. Тригонометрическое уравнение

Задание. Найдите сумму (в градусах) наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения

Варианты ответов:

1)    15;

2)    45;

3)    70;

4)    60;

5)    20.

Теория

sin α∙cos β-cos α∙sin β=sin(α-β)

Решение

При n=0, x=70° – наименьший положительный корень

При n=-1, x=70°-120°=-50° – наибольший отрицательный корень.

Их сумма 70°+(-50°)=20°

Ответ. 5

A18. Стереометрия

Задание. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является треугольник ABC, в котором ےA=75°, ےB=45°, а радиус описанной около него окружности равен 3√3. Найдите радиус окружности, описанной около грани AA₁B₁B, если площадь этой грани равна 108.

Варианты ответов

1)    7;

2)    15;

3)    7,5;

4)    6√2;

5)    9,5.

Теория

Прямая треугольная призма – это призма, в основании которой лежит треугольник, а боковые грани являются прямоугольниками. Сумма углов треугольника равна 180°. Теорема синусов: a/(sinA)=2R, центр описанной вокруг прямоугольника окружности лежит в точке пересечения его диагоналей, значит, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности, равен половине его диагонали. Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон.

Решение

Рассмотрим треугольник ABC у него ےC=180°-(75°+45°)=60°. По теореме синусов: AB/(sinےC)=2R; AB=2R∙ sinے60°=2∙3√3∙(√3/2)=9.

Рассмотрим прямоугольник AA₁B₁B, у него AB=9, S=108; S=AB∙BB₁, откуда BB₁=S/AB=108/9=12.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABB₁. По теореме Пифагора AB₁²=AB²+BB₁²=81+144=225, откуда AB₁=15, то есть диагональ прямоугольника равна 15, тогда радиус описанной вокруг него окружности равен 15/2=7,5.

Ответ. 3

A17. Линейное уравнение

Задание. Укажите номер промежутка, которому принадлежит корень уравнения

Варианты ответов

1)    (-4; -3);

2)    (-3; -2);

3)    (1; 2);

4)    (2; 3);

5)    (3; 4).

Анализ. простое линейное уравнение, решаемое путем равносильных переходов

Решение

Ответ. 5

A16. Составление выражения, перевод единиц измерения

Задание. На консервном заводе было 125 ящиков с яблоками по a кг в каждом. Составьте выражение, которое определяет, сколько центнеров яблок стало на консервном заводе после того, как привезли еще яблоки на n машинах, в каждой из которой было 30 ц 5 кг яблок.

Варианты ответов:

1)    30,05n+1,25a;

2)    30,05n+125a;

3)    30,5n+1,25a;

4)    30,5n+12,5a;

5)    30,05n+12,5a.

Анализ

Внимание! Разные единицы измерения! Переводим все величины в те, в которых требуется дать ответ – то есть в центнеры.

Теория перевод единиц измерения

1ц=100кг, 1кг=1/100ц.

Для того, чтобы узнать, сколько яблок стало, надо к массе яблок, которая была на складе, прибавить массу привезенных на склад яблок. (это должно быть очевидно, но вдруг…)

На заводе было 125 ящиков с яблоками по a кг в каждом, a кг = a∙1/100 ц=0,01a ц. Значит, было на заводе 125∙0,01a=1,25a ц яблок. Привезли еще яблоки на n машинах, в каждой из которой было 30 ц 5 кг яблок. 30 ц 5 кг = 30+5∙1/100=30,05 ц. Всего привезли 30,05∙n ц яблок. Итого яблок стало 1,25a+30,05n.

Ответ. 1