A9. Расстояние в системе координат

Задание. На координатной плоскости изображен параллелограмм ABCD с вершинами в узлах сетки (см. рис). Длина меньшей высоты параллелограмма ABCD равна:

Варианты ответов:

1)    5;

2)    5√2;

3)    (5√2)/2;

4)    3;

5)    7.

Решение

Меньшая высота параллелограмма будет опущена из вершины С на сторону AB (или из вершины A на сторону CD). Если обозначить M – точку пересечения стороны AB с осью Oy, то высота параллелограмма, опущенная из вершины C на сторону AB совпадет с высотой прямоугольного треугольника BCM (так как из точки, не лежащей на прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной). Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Треугольник BCM – прямоугольный с катетами 5 и 5, тогда его гипотенуза равна 5√2 (по теореме Пифагора или по формуле гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника). Значит, длина высоты равна (5√2)/2.

Ответ. 3