A14. Составление выражения

 Задание. Масса m вещества, его плотность ρ и объем V связаны формулой m=ρV. Составьте формулу для нахождения плотности (в граммах на сантиметр кубический) латуни, если латунный кубик с ребром, равным 2 см, имеет массу a г.

Варианты ответов:

1)    ρ=a/8;

2)    ρ=a/4;

3)    ρ=8a;

4)    ρ=4a;

5)    ρ=a/2

Решение

Из заданной формулы m=ρV выражаем плотность: ρ=m/V, для решения задачи в формулу необходимо подставить массу m и объем V тела. По условию задачи масса тела равна a. Объем тела находим по формуле V=2³=8, т.к. тело представляет из себя куб, объем которого находим V=a³, где a – ребро куба. Получаем ρ=a/8.

Ответ. 1

A13. Вычислительный пример с иррациональными числами.

Задание. Значение числового выражения

Варианты ответов:

1)    3√6+5;

2)    5-2√6;

3)    √6+5;

4)    5-√6;

5)    3√6-5.

Теория здесь

Анализ

Задание на знание свойств корней четной и нечетной степени, сравнение иррациональных чисел и умение раскрывать модуль, используя его определение:

Решение

Ответ. 5

Если при решении возникли вопросы, советую посмотреть это видео

 

A12. Окружность, углы в окружности, касательные.

Задание. Из точки A к окружности проведены касательные AB, AC и секущая AM, проходящая через центр окружности O. Точки B, C и M принадлежат окружности (см. рис). Найдите градусную меру угла 1, если ےCAO=34°.

Варианты ответов

1. 34°
2. 17°
3. 68°
4. 56°
5. 60°

Решение

Проведем радиус OC, тогда треугольники COA и BOA равны (CO=OB как радиусы, CA=BA как отрезки касательных, проведенные из одной точки, AO – общая), значит ےCAO=ےBAO=34°. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому ےABO=90°. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому из треугольника AOB: ے1=180°-(90°+34°)=56°.

Ответ. 4

A11. Проценты

Задание. На круговой диаграмме показано распределение посевных площадей под овощные культуры в агрохозяйстве. На сколько процентов площадь, отведенная под свеклу, меньше площади, отведенной под капусту?

Варианты ответов

1)    22,5%

2)    4,5%

3)    77,5%

4)    15,5%

5)    31,5%

Анализ

Будем очень внимательны при ответе на вопрос задачи, при решении каждый раз обращаем внимание на то, процент от какой величины мы рассматриваем.

Решение

Итак, по рисунку понятно, что кукуруза составляет 22,5% всех посевных площадей, картофель – 35% всех посевных площадей, лук – 7% всех площадей, капуста – 20% всех площадей, и т.к. оставшаяся культура – свекла, а вся посевная площадь в данном случае принимается за целое, то есть 100%, находим площадь, отведенную под свеклу как 100%-(22,5%+35%+7%+20%)=15,5%. ОТ ВСЕХ ПОСЕВНЫХ ПЛОЩАДЕЙ. Если все посевные площади обозначить за x (квадратных единиц), то очевидно, что кукуруза будет занимать 0,22x, картофель – 0,35x, лук – 0,7x, капуста – 0,2x, а свекла 0,155x. То есть свекла занимает площадь на 0,2x-0,155x=0,045x квадратных единиц меньше, чем капуста.

Теперь ответим на вопрос задачи: На сколько процентов площадь, отведенная под свеклу, меньше площади, отведенной под капусту? В данном случае, мы будем сравнивать площади с площадью, отведенную под капусту, то есть уже ее мы принимаем за 100%. Таким образом, нам необходимо узнать, сколько в процентах составляет разница, равная 0,045x от площади, отведенной под капусту, если за 100% принимается величина 0,2x

Составляем и решаем пропорцию:

Ответ. 1

 

A10. Свойства графика квадратичной функции

Задание. Парабола задана уравнением y=x²-8x. Укажите номер верного утверждения:

1)    Парабола не пересекает ось абсцисс;

2)    Парабола симметрична относительно прямой x=8;

3)    Вершиной параболы является точка A(4; -16);

4)    Ветви параболы направлены вниз;

5)    Парабола пересекает ось ординат в двух точках.

Теория Свойства графика квадратичной функции

Решение

Графиком функции y=x²-8x является парабола, ветви которой направлены вверх (a=1>0) – утверждение 4 не верно, координаты вершины параболы x_в=-b/2a=8/2=4, y_в=y(x_в)=42-8∙4=16-32=-16 Вершина (4; -16). – утверждение 3 верно. Ось симметрии x=x_в, то есть x=4 (утверждение 2 не верно). Точки пересечения с осью абсцисс – это нули функции. Нули заданной функции находим, решая уравнение x²-8x=0, оно имеет два решения x=0 и x=8, то есть функция пересекает ось абсцисс в двух точках. (утверждение 1 не верно). Утверждение 5 не верно, т.к. у функции одному значению x соответствует только одно значение y, соответственно не может одному и тому же значению x=0 соответствовать несколько точек, а точки пересечения графика функции с осью ординат обязательно имеют первую координату (абсциссу) равную 0.

Ответ. 3

A9. Расстояние между точками

Задание. Точка M лежит на оси ординат и равноудалена от точек A(5; 2) и B(-3; 3). Найдите координаты точки M.

Варианты ответов

Решение

Пусть точка M имеет координаты (0; b). Т.к. по условию она принадлежит оси ординат, то ее первая координата будет равна 0. Далее покажем, как составляются расстояния до точек

A и B. 

Расстояние до точки B будет равно гипотенузе треугольника MBB1 – это прямоугольный треугольник с катетами MB=|-3|=3 (расстояние по оси Ox между точками B и M и катет BB1=|3-b| - расстояние по оси Oy между точками M и B. Аналогично расстояние MA находим из прямоугольного треугольника AMA1, где A1M=|5|=5, AA1=|2-b|.

Эти два расстояния по условию равны, т.е.

Значит, точка M имеет координаты (0; -5 ½)

Ответ. 2